Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим примеры решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.

Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения
y' + y·tg x = cos x

Дифференциальное уравнение неоднородное, его правая часть не равна нулю. Решение такого уравнения обычно ищут в виде произведения двух функций:
y(x) = u(x)·v(x)
Некоторые умудряются использовать метод вариации произвольной постоянной. Действительно, u(x)   является варьируемой постоянной, а   v(x) — решением соответствующего однородного уравнения. Метод же вариации произвольной постоянной, используемый в явном виде, пригоден для решения дифференциальных уравнений высших порядков, но не совсем уместен для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Зачем из пушки по комарам палить?
Попытаемся найти общее решение уравнения, применяя известные нам формулы дифференцирования. Будем исходить из предположения, что однородные дифференциальные уравнения первого порядка мы решать уже умеем.
Представив   tg x = sin x/cos x, приведём левую часть дифференциального уравнения к общему знаменателю.
y' + y·sin x/cos x = (y'·cos x + y·sin x)/cos x = (y'·cos x − y·(cos x)')/cos x = cos x
Разделив обе части уравнения на   cos x, получим в левой части производную частного:
(y'·cos x − y·(cos x)')/cos² x = (y/cos x)' = 1
Интегрируем:   y/cos x = ∫dx = x + C, откуда
y = (x + C)·cos x — общее решение уравнения.

Пример 2
Найти частное решение дифференциального уравнения
y' + y·tg x = 2·x/cos x;   y(0) = 0
Разделим обе части уравнения на   cos x, получив в левой части производную частного:
(y/cos x)' = 2·x/cos² x
Проинтегрируем с учётом начальных условий: при   x = 0   y/cos x = 0
Учитывая вид подынтегральной функции, интегрировать будем по частям.


y = 2·cos x·(x·tg x + ln|cos x|) = 2·(x·sin x + cos x·ln|cos x|) — частное решение дифференциального уравнения.