Цилиндр наибольшего объёма. Задача на экстремум

Найти радиус основания   r   и высоту   h   цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар заданного радиуса   R.
Объём   V   цилиндра с заданными радиусом основания и высотой выражается формулой:
V = π·r²·H
Осевым сечением вписанного цилиндра будет прямоугольник с основанием   2·r, высотой   H   и диагональю   2·R.
Рассмотрим несколько способов решения задачи.
Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через его высоту и радиус описанного шара по теореме Пифагора:
r² = R² − (H/2)²
Зависимость объёма вписанного цилиндра от искомой высоты принимает вид:
V(H) = π·(R² − (H/2)²)·H = ¼ π·(4·R² − H²)·H = ¼ π·(4·R²·H − H³)   (0 < H < 2·R)
Продифференцируем полученную функцию   V(H). Из геометрических соображений она имеет единственный максимум на области определения.
V'(H) = ¼ π·(4·R² − 3·H²) = 0   при   H = 2·R/√3
При этом   r² = 2·R²/3;   r = R·√(2/3)
Наибольший объём цилиндра
max V = π·(2·R²/3)·2·R/√3 = 4·π·R³/(3·√3) = 4·√3·π·R³/9

Второй способ.
Обратимся к тригонометрии.
Обозначим через   φ   угол между диагональю и высотой осевого сечения цилиндра. Тогда радиус основания и высота цилиндра равны соответственно:
r = R·sin φ;   H = 2·R·cos φ
Объём цилиндра   V = π·r²·H = 2·π·R³·sin² φ·cos φ
Или, применяя основное тригонометрическое тождество,
V = 2·π·R³·(1 − cos² φ)·cos φ
Воспользуемся подстановкой   t = cos φ   (0 < t < 1)   и найдём максимум функции   V(t).
V(t) = 2·π·R³·(1 − t²)·t = 2·π·R³·(t − t³)
V'(t) = 2·π·R³·(1 − 3·t²)   при   t = cos φ = 1/√3
При этом   sin φ = √(2/3);   r = R·√(2/3);   H = 2·R/√3
max V = 4·√3·π·R³/9