Рациональное уравнение

Рассмотрим решение рационального уравнения
(2·x² − 3·x + 1)·(2·x² + 5·x + 1) = 9·x²

Ошибкой было бы раскрытие скобок и нахождение корней уравнения четвёртой степени.
Уравнение можно также решить, разделив обе его части на   x² ≠ 0   и применив подстановку   t = 2·x + 1/x. Но можно обойтись и без подстановки.
Найдём устно полусумму множителей в левой части и применим формулу разности квадратов.
(2·x² + x + 1 − 4·x)·(2·x² + x + 1 + 4·x) = 9·x²
(2·x² + x + 1)² − (4·x)² = 9·x²
(2·x² + x + 1)² − 16·x² = 9·x²
Перенесём всё в левую часть и применим формулу разности квадратов повторно.
(2·x² + x + 1)² − (16 + 9)·x² = 0
(2·x² + x + 1)² − 25·x² = 0
(2·x² + x + 1)² − (5·x)² = 0
(2·x² + x + 1 + 5·x)·(2·x² + x + 1 − 5·x) = 0
(2·x² + 6·x + 1)·(2·x² − 4·x + 1) = 0
Дальнейшее разложение левой части на множители не составит труда. Сделаем это почти устно, не применяя в явном виде формулу нахождения корней квадратного уравнения.
(4·x² + 12·x + 2)·(x² − 2·x + ½) = 0
(4·x² + 12·x + 9 − 7)·(x² − 2·x + 1 − ½) = 0
((2·x + 3)² − 7)·((x − 1)² − ½) = 0

Исходное уравнение имеет четыре различных действительных корня:
x = {−½(3 ± √7); 1 ± √½}