Эффект Допплера

Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приёмником. Когда источник и приёмник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приёмником, будет равна частоте   f   колебаний источника. Если же источник или приёмник либо оба они движутся относительно среды, то частота   f', воспринимаемая приёмником, может оказаться отличной от   f. Это явление называется эффектом Допплера.

Решим задачу.

Наблюдатель, стоящий у полотна железной дороги, слышит гудок проходящего поезда. Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна   f' = 180 Гц, когда поезд удаляется — f'' = 160 Гц. Определить скорость   v   поезда. Скорость звука в воздухе равна   u = 340 м/с.

Выразив частоты воспринимаемых наблюдателем гудков от приближающегося и удаляющегося поезда, составим систему уравнений.

{f' = f·u/(u − v)
{f'' = f·u/(u + v)

Решим систему уравнений относительно скорости поезда   v

f·u = f'·(u − v) = f''·(u + v) ⇒ (f' + f'')·v = (f' − f'')·u ⇒ v = u·(f' − f'')/(f' + f'')

v = 340·(180 − 160)/(180 + 160) = 340·(9 − 8)/(9 + 8) = 340/17 = 20 м/с = 72 км/час

Мы можем также найти собственную частоту колебаний гудка поезда   f. Для этого разделим числители и знаменатели правых частей уравнений составленной системы на скорость звука в воздухе   u.

{f' = f/(1 − v/u)
{f'' = f/(1 + v/u)
⇓
{1 − v/u = f/f'
{1 + v/u = f/f''

Сложим преобразованные уравнения.

f/f' + f/f'' = f·(f' + f'')/(f'·f'') = 2 ⇒ f = 2·f'·f''/(f' + f'')

f = 2·180·160/(180 + 160) ≈ 169 Гц