Предел рациональной тригонометрической функции

Найти предел рациональной тригонометрической функции

A = lim_{x→π/4}(√2·cos x − 1)/(1 − tg² x)


Имеет место неопределённость вида   [0/0].
Можно попытаться применить правило Лопиталя, можно использовать формулы суммы (разности) тригонометрических функций и сделать соответствующую подстановку. Можно, но не нужно!
Вспомним элементарную школьную тригонометрию и преобразуем знаменатель.

1 − tg² x = 1 − sin² x/cos² x = (cos² x − sin² x)/cos² x

По формуле косинуса двойного аргумента

cos² x − sin² x = cos(2·x) = 2·cos² x − 1

Получим:   1 − tg² x = (2·cos² x − 1)/cos² x

A = lim_{x→π/4}cos² x·(√2·cos x − 1)/(2·cos² x − 1)


Разложим знаменатель по формуле разности квадратов.

cos² x·(√2·cos x − 1)/(2·cos² x − 1) =
= cos² x·(√2·cos x − 1)/((√2·cos x − 1)·(√2·cos x + 1)) =
= cos² x/(√2·cos x + 1)

Тогда   A = lim_{x→π/4}cos² x/(√2·cos x + 1) = ¼


И наконец — пример того, как не следует решать подобные задачи.