Длина дуги кривой

Найдём длину   L   дуги линии   y = exp(2·x) − 1, где   x   принадлежит промежутку
[¼ ln ¾; ¼ ln 2].
Поскольку плоская линия задана уравнением   y = ƒ(x), дифференциал длины её дуги выражается формулой:   ds = √(y'² + 1)·dx.
Дифференцируем:   y' = 2·exp(2·x).
Тогда   ds = √(4·exp(4·x) + 1)·dx.
Длину дуги кривой будем искать с помощью определённого интеграла:

Мы получили определённый интеграл от иррационального выражения, который легко вычисляется после удачной подстановки.
Пусть   4·exp(4·x) + 1 = t²
Тогда   8·exp(4·x)·dx = t·dt,
откуда   dx = ½ t·dt/(4·exp(4·x)) = ½ t·dt/(t² − 1)

Пределы интегрирования:
нижний   t₁ = √(4·exp(ln ¾) + 1) = √(3 + 1) = 2
верхний   t₂ = √(4·exp(ln 2) + 1) = √(8 + 1) = 3

После подстановки получаем определённый интеграл от рациональной функции, вычислить который не составит труда:

L = ¼ (2 + ln 1,5)

И напоследок — порция летнего позитива.

Увеличить

Автор фото мой друг Юрий Семыкин.

Хороших каникул и приятного отдыха!