Дорогие студенты!
Здесь в формате PDF вы можете скачать учебно-методическое пособие в двух частях. А ниже ознакомиться с содержанием трудов.
1 ЧАСТЬ
Вопрос 1. Выпуклые вниз (вверх) функции одной переменной. Достаточное условие выпуклости вниз (вверх) (с доказательством).
Вопрос 2. Понятие точки перегиба функции одной переменной. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Второе достаточное условие сильного локального экстремума функции одной переменной.
Вопрос 3. Понятие круга (n-мерного шара), открытого круга (открытого n-мерного шара), окружности (n-мерной сферы). Понятие ε-окрестности на числовой прямой, числовой плоскости и n-мерном пространстве. Множества на плоскости (в n-мерном пространстве) ограниченные и неограниченные.
Вопрос 4. Внутренняя точка множества , внутренность множества , открытое множество.
Вопрос 5. Граничная точка множества , граница множества , замкнутое множество.
Вопрос 6. Предельная точка множества (два определения), производное множество , замкнутое множество.
Вопрос 7. Доказать, что открытый шар – открытое множество (можно ограничиться случаем n = 2).
Вопрос 10. Выпуклая комбинация двух точек, отрезок в , понятие выпуклого множества в (можно ограничиться n = 2). Примеры множеств выпуклых и невыпуклых. Доказать, что открытый шар – выпуклое множество.
Вопрос 11. Последовательность векторов на плоскости и в . Предел последовательности векторов на плоскости
Вопрос 12. ε-окрестность на плоскости и в октаэдрические, евклидовы, кубические. Связь между ними в случае ε = 1.
Вопрос 13. Связь сходимости последовательности векторов с покоординатной сходимостью (необходимость и достаточность). Сформулировать все редакции и привести доказательства.
Вопрос 14. Предельная точка последовательности векторов. Формулировка теоремы о существовании предельной точки у ограниченной последовательности векторов.
Вопрос 15. Функция нескольких переменных (ФНП), её область определения, область значений, множества уровней. Экономическая интерпретация.
Вопрос 16. Определение предела (по Коши) ФНП.
Вопрос 17. Направление в точке. Предел функции нескольких переменных по направлению. Пример ФНП, имеющей предел по любому направлению в точке (0; 0) и не имеющей предела.
Вопрос 18. Понятие повторного предела. Теоремы о повторных пределах (без доказательства).
Вопрос 19. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точка глобального экстремума ФНП.
Вопрос 20. Формулировка теоремы Вейерштрасса о существовании точек глобального максимума и минимума у непрерывной на замкнутом ограниченном множестве ФНП.
Вопрос 21. Формулировка теоремы Больцано-Коши для ФНП.
Вопрос 22. Понятие равномерно непрерывной функции НП. Доказать, что равномерно непрерывная ФНП непрерывна в каждой точке области определения.
Вопрос 23. Привести формулировку теоремы Кантора о равномерной непрерывности ФНП, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.
Вопрос 24. Привести пример ФНП непрерывной по любому направлению в точке (0; 0), которая не является непрерывной по совокупности переменных.
Вопрос 25. Понятие частной производной (ЧП) ФНП, конечной, бесконечной. Градиент. Случай, когда не существует ни конечной, ни бесконечной частной производной. Геометрическая интерпретация всех случаев. Формулы для приближённого вычисления ЧП. Понятие частной эластичности ФНП и эластичности производства.
Вопрос 26. Дифференцируемость ФНП в точке и на множестве. Главная линейная часть приращения и «хвост» в аддитивной форме. Понятие полного дифференциала ФНП в точке.
Вопрос 27. Эквивалентность аддитивной и мультипликативной форм хвоста (с доказательством).
Вопрос 28. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о непрерывности дифференцируемой ФНП.
Вопрос 29. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании конечных частных производных у дифференцируемой ФНП.
Вопрос 30. Сформулировать в трёх редакциях теорему о достаточном условии дифференцируемости ФНП.
Вопрос 31. Понятие (невертикальной) касательной плоскости к графику функции двух переменных. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании касательной плоскости к графику дифференцируемой функции двух переменных.
Вопрос 32. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о дифференцируемости функции двух переменных, график которой имеет невертикальную касательную плоскость. Единственность касательной плоскости.
Вопрос 33. Сформулировать теорему о непрерывности сложной ФНП.
Вопрос 34. Сформулировать теорему о дифференцируемости сложной ФНП. Выписать формулы для ЧП.
Вопрос 35. Понятие производной по направлению.
Вопрос 36. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании производной по любому направлению у дифференцируемой ФНП.
Вопрос 37. Формы представления производной по направлению и их графическая интерпретация. Ортогональность градиента множеству уровня (эскиз доказательства). 28
Вопрос 38. Инвариантность формы полного дифференциала.
Вопрос 39. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и её применение к экономической теории.
Вопрос 40. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве вторых смешанных частных производных (без доказательства).
Вопрос 41. Сформулировать теорему 1 о неявной функции.
Вопрос 42. Сформулировать теорему о существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы о неявной функции.
2 ЧАСТЬ
Вопрос №1. Первый полный дифференциал – функция четырёх переменных, линейная форма дифференциалов независимых переменных.
Вопрос № 2. Второй дифференциал ФНП (можно Ф2П) (определение). Второй дифференциал – квадратичная форма дифференциалов независимых переменных.
Вопрос №3. Сформулировать определение дважды дифференцируемой функции двух переменных. Сформулировать достаточное условие дважды дифференцируемости функции.
Вопрос № 4. Доказать инвариантность первого полного дифференциала Ф2П и привести пример, показывающий, что второй полный дифференциал инвариантностью формы не обладает.
Вопрос №5. Доказать, что если внутренние функции линейные, то второй и последующие дифференциалы Ф2П обладают инвариантностью формы.
Вопрос №6. Понятие символического исчисления. Его использование для представления полных дифференциалов любых порядков.
Вопрос № 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для Ф2П (без доказательства).
Вопрос №8. Понятие абсолютного экстремума (локального, глобального, сильного, слабого) и точки абсолютного экстремума Ф2П.
Вопрос №9. Необходимое условие локального абсолютного экстремума Ф2П в трёх редакциях (условия первого порядка). Доказательство и примеры.
Вопрос №10. Формулировка достаточного условия наличия или отсутствия (сильного) абсолютного локального экстремума Ф2П (условия второго порядка). Примеры.
Вопрос № 11. Функции 2П выпуклые и квазивыпуклые вверх (вниз). Равенство нулю первых частных производных – условие экстремума не только необходимое, но и достаточное (с доказательством). Пример Ф2П, выпуклой вверх, у которой локальный минимум не является глобальным.
Вопрос №12. Понятие условного экстремума (локального, глобального, сильного, слабого) и точки условного экстремума Ф2П.
Вопрос № 13. Функция Лагранжа, метод Лагранжа. Длинная и короткая точка. Коллинеарность градиентов.
Вопрос №14. Формулировка необходимого условия локального экстремума (условия первого порядка). Пример, в котором необходимое условие не является достаточным. Коллинеарность градиентов. Умение читать взаимное расположение линий уровня.
Вопрос №15. Достаточное условие условного (глобального) экстремума (случай выпуклых функций).
Вопрос №16. Сформулировать и доказать две теоремы о функции одной переменной, производные которых равны.
Вопрос №17. Сформулировать определение первообразной и неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов.
Вопрос №18. Сформулировать первую основную теорему интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции).
Вопрос №19. Примеры неопределённого интегрирования (табличные, разложением, замены переменных и по частям)
Вопрос №20. Определённый интеграл и его геометрическая интерпретация.
Вопрос №21. Свойства определённого интеграла (связанные с подынтегральной функцией и с отрезком интегрирования).
Вопрос №22. Определённый интеграл – линейный функционал. Интегрирование неравенств.
Вопрос №23. Теорема о среднем значении в интегральном исчислении.
Вопрос №24. Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу.
Вопрос №25. Формула Ньютона-Лейбница.
Вопрос №26. Формулировка второй основной теоремы интегрального исчисления и её обобщение.
Вопрос №27. Замена переменной и интегрирование по частям для неопределённого интеграла.
Вопрос №28. Применение определённого интеграла для вычисления площадей.
Вопрос №29. Несобственные интегралы первого и второго рода. Формулировка критерия Коши.
Вопрос №30. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Вопрос №31. Повторный интеграл и его использование для вычисления двойного интеграла.
Вновь на носу сессия, и для того, чтобы вы её сдали на ура, предоставляю вашему вниманию теорию по математическому анализу. Это материал второго семестра МГУ экономического факультета. Огромное спасибо нашему лектору, Черемных Юрию Николаевичу за огромное удовольствие, полученное от данного курса.
Здесь в формате PDF вы можете скачать учебно-методическое пособие в двух частях. А ниже ознакомиться с содержанием трудов.
1 ЧАСТЬ
Вопрос 1. Выпуклые вниз (вверх) функции одной переменной. Достаточное условие выпуклости вниз (вверх) (с доказательством).
Вопрос 2. Понятие точки перегиба функции одной переменной. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Второе достаточное условие сильного локального экстремума функции одной переменной.
Вопрос 3. Понятие круга (n-мерного шара), открытого круга (открытого n-мерного шара), окружности (n-мерной сферы). Понятие ε-окрестности на числовой прямой, числовой плоскости и n-мерном пространстве. Множества на плоскости (в n-мерном пространстве) ограниченные и неограниченные.
Вопрос 4. Внутренняя точка множества , внутренность множества , открытое множество.
Вопрос 5. Граничная точка множества , граница множества , замкнутое множество.
Вопрос 6. Предельная точка множества (два определения), производное множество , замкнутое множество.
Вопрос 7. Доказать, что открытый шар – открытое множество (можно ограничиться случаем n = 2).
Вопрос 10. Выпуклая комбинация двух точек, отрезок в , понятие выпуклого множества в (можно ограничиться n = 2). Примеры множеств выпуклых и невыпуклых. Доказать, что открытый шар – выпуклое множество.
Вопрос 11. Последовательность векторов на плоскости и в . Предел последовательности векторов на плоскости
Вопрос 12. ε-окрестность на плоскости и в октаэдрические, евклидовы, кубические. Связь между ними в случае ε = 1.
Вопрос 13. Связь сходимости последовательности векторов с покоординатной сходимостью (необходимость и достаточность). Сформулировать все редакции и привести доказательства.
Вопрос 14. Предельная точка последовательности векторов. Формулировка теоремы о существовании предельной точки у ограниченной последовательности векторов.
Вопрос 15. Функция нескольких переменных (ФНП), её область определения, область значений, множества уровней. Экономическая интерпретация.
Вопрос 16. Определение предела (по Коши) ФНП.
Вопрос 17. Направление в точке. Предел функции нескольких переменных по направлению. Пример ФНП, имеющей предел по любому направлению в точке (0; 0) и не имеющей предела.
Вопрос 18. Понятие повторного предела. Теоремы о повторных пределах (без доказательства).
Вопрос 19. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точка глобального экстремума ФНП.
Вопрос 20. Формулировка теоремы Вейерштрасса о существовании точек глобального максимума и минимума у непрерывной на замкнутом ограниченном множестве ФНП.
Вопрос 21. Формулировка теоремы Больцано-Коши для ФНП.
Вопрос 22. Понятие равномерно непрерывной функции НП. Доказать, что равномерно непрерывная ФНП непрерывна в каждой точке области определения.
Вопрос 23. Привести формулировку теоремы Кантора о равномерной непрерывности ФНП, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.
Вопрос 24. Привести пример ФНП непрерывной по любому направлению в точке (0; 0), которая не является непрерывной по совокупности переменных.
Вопрос 25. Понятие частной производной (ЧП) ФНП, конечной, бесконечной. Градиент. Случай, когда не существует ни конечной, ни бесконечной частной производной. Геометрическая интерпретация всех случаев. Формулы для приближённого вычисления ЧП. Понятие частной эластичности ФНП и эластичности производства.
Вопрос 26. Дифференцируемость ФНП в точке и на множестве. Главная линейная часть приращения и «хвост» в аддитивной форме. Понятие полного дифференциала ФНП в точке.
Вопрос 27. Эквивалентность аддитивной и мультипликативной форм хвоста (с доказательством).
Вопрос 28. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о непрерывности дифференцируемой ФНП.
Вопрос 29. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании конечных частных производных у дифференцируемой ФНП.
Вопрос 30. Сформулировать в трёх редакциях теорему о достаточном условии дифференцируемости ФНП.
Вопрос 31. Понятие (невертикальной) касательной плоскости к графику функции двух переменных. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании касательной плоскости к графику дифференцируемой функции двух переменных.
Вопрос 32. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о дифференцируемости функции двух переменных, график которой имеет невертикальную касательную плоскость. Единственность касательной плоскости.
Вопрос 33. Сформулировать теорему о непрерывности сложной ФНП.
Вопрос 34. Сформулировать теорему о дифференцируемости сложной ФНП. Выписать формулы для ЧП.
Вопрос 35. Понятие производной по направлению.
Вопрос 36. Сформулировать в трёх редакциях и доказать теорему о существовании производной по любому направлению у дифференцируемой ФНП.
Вопрос 37. Формы представления производной по направлению и их графическая интерпретация. Ортогональность градиента множеству уровня (эскиз доказательства). 28
Вопрос 38. Инвариантность формы полного дифференциала.
Вопрос 39. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и её применение к экономической теории.
Вопрос 40. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве вторых смешанных частных производных (без доказательства).
Вопрос 41. Сформулировать теорему 1 о неявной функции.
Вопрос 42. Сформулировать теорему о существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы о неявной функции.
2 ЧАСТЬ
Вопрос №1. Первый полный дифференциал – функция четырёх переменных, линейная форма дифференциалов независимых переменных.
Вопрос № 2. Второй дифференциал ФНП (можно Ф2П) (определение). Второй дифференциал – квадратичная форма дифференциалов независимых переменных.
Вопрос №3. Сформулировать определение дважды дифференцируемой функции двух переменных. Сформулировать достаточное условие дважды дифференцируемости функции.
Вопрос № 4. Доказать инвариантность первого полного дифференциала Ф2П и привести пример, показывающий, что второй полный дифференциал инвариантностью формы не обладает.
Вопрос №5. Доказать, что если внутренние функции линейные, то второй и последующие дифференциалы Ф2П обладают инвариантностью формы.
Вопрос №6. Понятие символического исчисления. Его использование для представления полных дифференциалов любых порядков.
Вопрос № 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для Ф2П (без доказательства).
Вопрос №8. Понятие абсолютного экстремума (локального, глобального, сильного, слабого) и точки абсолютного экстремума Ф2П.
Вопрос №9. Необходимое условие локального абсолютного экстремума Ф2П в трёх редакциях (условия первого порядка). Доказательство и примеры.
Вопрос №10. Формулировка достаточного условия наличия или отсутствия (сильного) абсолютного локального экстремума Ф2П (условия второго порядка). Примеры.
Вопрос № 11. Функции 2П выпуклые и квазивыпуклые вверх (вниз). Равенство нулю первых частных производных – условие экстремума не только необходимое, но и достаточное (с доказательством). Пример Ф2П, выпуклой вверх, у которой локальный минимум не является глобальным.
Вопрос №12. Понятие условного экстремума (локального, глобального, сильного, слабого) и точки условного экстремума Ф2П.
Вопрос № 13. Функция Лагранжа, метод Лагранжа. Длинная и короткая точка. Коллинеарность градиентов.
Вопрос №14. Формулировка необходимого условия локального экстремума (условия первого порядка). Пример, в котором необходимое условие не является достаточным. Коллинеарность градиентов. Умение читать взаимное расположение линий уровня.
Вопрос №15. Достаточное условие условного (глобального) экстремума (случай выпуклых функций).
Вопрос №16. Сформулировать и доказать две теоремы о функции одной переменной, производные которых равны.
Вопрос №17. Сформулировать определение первообразной и неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов.
Вопрос №18. Сформулировать первую основную теорему интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции).
Вопрос №19. Примеры неопределённого интегрирования (табличные, разложением, замены переменных и по частям)
Вопрос №20. Определённый интеграл и его геометрическая интерпретация.
Вопрос №21. Свойства определённого интеграла (связанные с подынтегральной функцией и с отрезком интегрирования).
Вопрос №22. Определённый интеграл – линейный функционал. Интегрирование неравенств.
Вопрос №23. Теорема о среднем значении в интегральном исчислении.
Вопрос №24. Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу.
Вопрос №25. Формула Ньютона-Лейбница.
Вопрос №26. Формулировка второй основной теоремы интегрального исчисления и её обобщение.
Вопрос №27. Замена переменной и интегрирование по частям для неопределённого интеграла.
Вопрос №28. Применение определённого интеграла для вычисления площадей.
Вопрос №29. Несобственные интегралы первого и второго рода. Формулировка критерия Коши.
Вопрос №30. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Вопрос №31. Повторный интеграл и его использование для вычисления двойного интеграла.
Комментариев нет:
Отправить комментарий