Рассмотрим один из примеров интегрирования иррациональных выражений.
Найти неопределённый интеграл I = ∫dx/(x²·√(x² + 4))
С первого взгляда напрашивается тригонометрическая x = 2·tg t или гиперболическая
x = 2·sh t подстановка. Но, внимательно посмотрев на подынтегральную функцию, мы можем решить интеграл намного проще.
Вынеся x из-под знака квадратного корня, получим:
I = ∫dx/(x³·√(1 + 4/x²))
Применим теперь подстановку t = 1 + 4/x². Тогда dt = −8·dx/x³.
I = −¼ ∫dt/(2·√t) = C − ¼ √t.
Применяя обратную подстановку, получим:
I = C − ¼ √(1 + 4/x²) = C − √(x² + 4)/(4·x)
Вот и всё решение:-)
Покажем теперь, каким громоздким, запутанным и нерациональным будет решение при невнимательном прочтении условия задачи и бездумном применении тригонометрической подстановки. Иными словами — как данный интеграл решать не следует.
Найти неопределённый интеграл I = ∫dx/(x²·√(x² + 4))
С первого взгляда напрашивается тригонометрическая x = 2·tg t или гиперболическая
x = 2·sh t подстановка. Но, внимательно посмотрев на подынтегральную функцию, мы можем решить интеграл намного проще.
Вынеся x из-под знака квадратного корня, получим:
I = ∫dx/(x³·√(1 + 4/x²))
Применим теперь подстановку t = 1 + 4/x². Тогда dt = −8·dx/x³.
I = −¼ ∫dt/(2·√t) = C − ¼ √t.
Применяя обратную подстановку, получим:
I = C − ¼ √(1 + 4/x²) = C − √(x² + 4)/(4·x)
Вот и всё решение:-)
Покажем теперь, каким громоздким, запутанным и нерациональным будет решение при невнимательном прочтении условия задачи и бездумном применении тригонометрической подстановки. Иными словами — как данный интеграл решать не следует.
Комментариев нет:
Отправить комментарий