Теория вероятностей. Формула полной вероятности

В первой урне находятся 4 шара белого и 5 шаров чёрного цвета, во второй — 7 белого и 2 синего, в третьей — 8 белого и 3 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
Это задачу по теории вероятностей на схему урн можно решить не менее, чем двумя способами.
Разберём сперва, в чём заключается традиционный способ. Для этого нужно рассмотреть гипотезы о составе шаров (по цвету), переложенных из первой и второй урн в третью. Всего возможны четыре элементарных исхода такого перекладывания:
1) из обеих урн переложены шары не белого цвета (из первой — чёрного, из второй — синего);
2) из первой урны переложен белый шар, из второй — синий;
3) из первой урны переложен чёрный шар, из второй — белый;
4) из обеих урн в третью переложены шары белого цвета.
Далее предстоит вычислить вероятности этих гипотез и условные вероятности извлечения из третьей урны белого шара после реализации каждой из гипотез. При этом вторую и третью гипотезы можно объединить. И наконец, по формуле полной вероятности найти вероятность извлечения белого шара из третьей урны.

Задачу можно решить и другим (не единственным), более изящным способом.
Исходно в третьей урне находилось 8 + 3 = 11 шаров, после же перекладываний —
11 + 2 = 13 шаров.
Рассмотрим всего три гипотезы о происхождении шара, извлечённого наудачу из третьей урны:
H_i = {шар изначально находился в i-й урне}.
Априорные вероятности этих гипотез соответственно равны:
P(H₁) = P(H₂) = 1/13;   P(H₃) = 11/13
Найдём теперь условные вероятности события A = {из 3-й урны извлечён белый шар}. Эти условные вероятности равны вероятностям извлечения белого шара из соответствующих урн до перекладывания шаров:
P(A/H₁) = 4/(4 + 5) = 4/9;   P(A/H₂) = 7/(7 + 2) = 7/9;   P(A/H₃) = 8/(8 + 3) = 8/11
Искомую вероятность того, что в итоге из третьей урны будет извлечён белый шар, найдём по формуле полной вероятности:
P(A) = ∑P(A/H_i)·P(H_i) = P(A/H₁)·P(H₁) + P(A/H₂)·P(H₂) + P(A/H₃)·P(H₃) =
= 4/9 · 1/13 + 7/9 · 1/13 + 8/11 ·11/13 = (4 + 7)/(9·13) + 8/13 = 11/(9·13) + 8/13 =
= (11/9 + 8)/13 = 83/(9·13) = 83/117 ≈ 0,709