Путешественник может купить билет в одной из трёх касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, равна 1/2, ко второй — 1/3, к третьей — 1/6. Вероятности того, что в кассах уже нет билетов, равны соответственно 1/5, 1/6, 1/8. Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Найти вероятность того, что билет был куплен в первой кассе.
Эту типовую задачу из теории вероятностей я ранее разбирал со студентами. Итак, приступим.
Рассмотрим гипотезы о происхождении купленного путешественником билета.
Hi = {билет приобретён в i-й кассе}.
По условию задачи априорные вероятности гипотез соответственно равны:
P(H₁) = 1/2, P(H₂) = 1/3, P(H₃) = 1/6.
Отметим, что путешественник всё-таки купил билет. В условии же заданы вероятности того, что в кассах билетов не оказалось.
Пусть событие A = {путешественник купил билет в кассе}.
Условные вероятности события A соответственно равны:
P(A/H₁) = 1 − 1/5 = 4/5, P(A/H₂) = 1 − 1/6 = 5/6, P(A/H₃) = 1 − 1/8 = 7/8.
Вероятность приобретения пассажиром билета найдём по формуле полной вероятности:
P(A) = ∑P(A/Hi)·P(Hi) = P(A/H₁)·P(H₁) + P(A/H₂)·P(H₂) + P(A/H₃)·P(H₃) =
= 4/5 · 1/2 + 5/6 · 1/3 + 7/8 · 1/6 = 2/5 + 5/18 + 7/48 = (288 + 200 + 105)/720 = 593/720
Апостериорную вероятность гипотезы H₁ = {билет приобретён в 1-й кассе} найдём по формуле Байеса:
P(H₁/A) = P(A/H₁)·P(H₁)/P(A) = 2/5 ÷ 593/720 = 288/593 ≈ 0,486
спасибо!
ОтветитьУдалить