Дифференциальные уравнения. No 1

Для многих новоиспеченных студентов до самых первых пар остается загадкой, что скрывает в себе этот страшный предмет «матан». Что таят в себе неведомые «диффуры»?… В сегодняшней статье мы немного расскажем вам о дифференциальных уравнениях, дабы в будущем они вас не пугали, и вы щелкали задачи на семинарах, зачетах и экзаменах по математическому анализу как орешки.

На обычных школьных уроках математики каждый из нас сталкивался с уравнениями. Что же такое дифференциальное уравнение? Это уравнение, которое содержит в себе как значение производной функции, так и саму функцию и(или) независимую переменную и (или) параметр. В теоретическом аспекте есть и нюансы: например, не каждое уравнение, содержащее производную функции, будет называться дифференциальным. Но сегодня мы остановимся на практических сторонах вопроса: разберем методы решения стандартных типов дифференциальных уравнений различного порядка.

1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим уравнение:
(x² − 1)⋅y' + 2⋅x⋅y² = 0


Перед нами дифференциальное уравнение. Оно содержит производную функции у, саму функцию у, а также независимую функцию х. Более того, данное уравнение является дифференциальным уравнением определенного вида — уравнением с разделяющимися переменными. Это значит, что путем преобразований данное уравнение можно привести к такому виду, что все вариации функции у окажутся с одной стороны от знака равно, а все вариации функции х — с другой стороны:

(x² − 1)⋅dy/dx + 2⋅x⋅y² = 0
(x² − 1)⋅dy = −2⋅x⋅y²⋅dx
dy/(y²) = − 2⋅x⋅dx/(x² − 1)

Итак, переменные разделены. Следующим шагом является интегрирование: интегрируем обе части уравнения. Получаем следующее равенство:

∫(dy/(y²)) = − ∫ (2⋅x⋅dx/(x² − 1))
∫(dy/(y²)) = ∫(y^-2dy) = y^-1/(-1) + C₁ = −1/y + C₁

Для правой части проведем некоторые преобразования. 2х - это производная функции х² по х. Поэтому можем переписать:
− ∫ (2⋅x⋅dx/(x² − 1)) = − &int (d(х²)/(x² − 1))

Кроме этого, производная константы равна нулю, а производная суммы - сумме поизводных, поэтому:
− ∫ (d(х²)/(x² − 1)) = − &int (d(х² − 1)/(x² − 1)) = − ln|x² − 1| + C₂

−1/y + C₁ = − ln|x² − 1| + C₂
1/y = ln|x² − 1| + C
y = 1/(ln|x² − 1| + C)

Последняя запись является решением дифференциального уравнения в общем виде. Но! Есть некоторые особенности.
Примечание 1. Когда мы приводили первоначальное уравнение к удобному для решения виду, мы делили уравнение на множитель y²⋅(x² − 1). Поэтому мы могли потерять решения уравнения, такие как y = 0 или х = ± 1
При х = ± 1 уравнение принимает вид:
± 2⋅y² = 0, получаем, что y = 0.
При у = 0 получаем:
0 = 0.
Поэтому {у = 0, х ∈ R} - также является решением дифференциального уравнения.

Примечание 2. Найденное решение является решением в общем виде. Задание может быть сформулировано более подробно. Например, даны начальные условия, как то:
у(0) = 1

С помощью этого условия мы можем найти параметр С, который в общем решении можем принимать любое действительное значение, что позволяет записать все семейство решений дифференциального уравнения в одну строчку. Но в случае начальных условий:
y = 1/(ln|0 − 1| + C) = 1/C = 1
C = 1

Итак, решение уравнения с учетом примечаний №1 и №2 выглядит следующим образом:
y = 1/(ln|x² − 1| + 1), у = 0.


2) Однородные дифференциальные уравнения
Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, где M, N - однородные функции одной степени. У читателя может возникнуть вопрос - что такое однородные функции? По определению, функция М является однородной, если для любого положительного числа p и любого натурального числа k выполняется равенство:
M(px, py) = p^k⋅M(x, y)

После простых преобразований однородное дифференциальное уравнение сводится к виду:
dy/dx = f(y/x)

К однородным сводятся дифференциальные уравнения вида:
dy/dx = f[(a₁x + b₁ + c₁)/(a₂x + b₂ + c₂)]

Более внимательно вглядимся в вид выражения в квадратных скобках. Числитель и знаменатель представлены уравнением прямой. Очевидно, что данная вариация однородного дифференциального уравнения может быть разрешена по двум направлениям: прямые пересекаются (а) или не пересекаются (б). Итак, ниже мы рассмотрим ТРИ вида однородных дифференциальных уравнений. А также - один бонусный пример с не самой стандартной заменой.

2а) (x + 2y)⋅dx - x⋅dy = 0
Видим, что в данном дифференциальном уравнении перед дифференциалами стоят многочлены первой степени. Значит, уравнение является однородным. Сделаем стандартную замену: y = kx. Тогда dy = k⋅dx + x⋅dk
(x + 2⋅k⋅x)⋅dx - x⋅(k⋅dx + x⋅dk) = 0
(x + k⋅x)⋅dx - x²⋅dk = 0
(1 + k)⋅x⋅dx = x²⋅dk = 0
(1/x)dx = [1/(1 + k)]dk

Получили уже знакомое нам уравнение с разделяющимися переменными. Решим его взятием интеграла:
∫[(1/x)dx] = ∫[(1/(1 + k))dk]
ln|x| = ln|1 + k| + C₁
ln|x| = ln|1 + y/x| + C₁
x = C⋅(1 + y/x)
x² = C⋅x + y
y = x² − C⋅x

В ходе решения мы делили уравнение на (1 + k) = 1 + y/x и х.
При 1 + y/x = 0, то есть y = -x.
−(-у + 2y)⋅dy + y⋅dy ≡ 0

При х = 0:
0 - 0 = 0

Ответ: y = x² − C⋅x, y = -x, х = 0.

2б) dy/dx = 2⋅[(y + 2)/(x + y − 1)]²
Необходимо определить, пересекаются ли прямые y + 2 = 0 и x + y − 1 = 0. Прямые параллельны, если имеют соответственно равные коэффициенты перед у и х. В жанном случае это не так, поэтому прямые пересекаются. Комментарий к предстоящей замене: нам необходимо параллельным переносом перенести начало координат в точку пересечения прямых.
y + 2 = x + y − 1
x = 3
y = -2

Замена: u = x − 3, v = y + 2
Подставим:
dv/du = 2⋅[v/(u + v)]² = 2⋅[1/(u/v + 1)]²

Замена:
v = ku, тогда dv = k⋅du + u⋅dk
(k⋅du + u⋅dk)/du = 2⋅[k/(1 + k)]²
u⋅dk/du = 2⋅[k/(1 + k)]² − k
du/u = dk/[2⋅(k/(1 + k))² − k]

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его взятием интеграла:
∫ [dk/[2⋅(k/(1 + k))² − k]] = ∫[((1 + k)²dk)/(2k² − k⋅(1 + k)²)] = [(1 + k)²dk/(-k⋅(1 + k²))]

После деления на (1 + k²) получим:
[(1 + k)²dk/(-k⋅(1 + k²))] = − ∫(dk/k) −2⋅∫[dk/(1 + k²)] = −ln|k| −2⋅arctg(k) + C₁

∫[du/u] = ln|u| + C₂

ln|u| = −ln|k| −2⋅arctg(k) + C₃
u = 1/[C⋅k⋅e^2⋅arctg(k)]
C⋅u⋅k⋅e^2⋅arctg(k) = 1
C⋅u⋅k⋅e^2⋅arctg(k) = C⋅v⋅e^{2⋅arctg(v/u)} = C⋅(y + 2)⋅e^{2⋅arctg((y + 2)/(x − 3))} = 1

Итак, общее решение: C⋅(y + 2)⋅e^{2⋅arctg((y + 2)/(x − 3))} = 1

2в) Теперь рассмотрим аналогичный пример, в котором прямые параллельны.
dy/dx = 2⋅[(x + y + 2)/(x + y − 1)]²

Замена: х + у = z
dz = dx + dy
(dz − dx)/dx = 2⋅[(z + 2)/(z − 1)]²
dz/dx = 2⋅[(z + 2)/(z − 1)]² + 1
dz/[2⋅[(z + 2)/(z − 1)]² + 1] = dx

Дальнейшие преобразования опустим, так как суть метода замены в случае параллельных прямых мы уже передали.

2г) БОНУС! Могли бы вы предположить, но уравнение следующего вида:
2x²y' = y³ + xy
при удачном сложении обстоятельств также можно свести к однородному уравнению!

Замена: у = z^m

2⋅m⋅x²⋅z^m-1z' = z^3m + x⋅z^m
Для того, чтобы уравнение стало однородным, необходимо и достаточно, чтобы
2 + m − 1 = 3m = 1 + m

Отсюда следует, что m = 1/2. Получаем:

(x²/√z)z' = z^3/2 + x⋅z^1/2

Замена: x = tz, dx = t⋅dz + z⋅dt
После преобразований получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
− t⋅dz = (1 + t)⋅z⋅dt
(-1/z)dz = (1/t + 1)dt
− ln|z| = ln|t| + t + C₁
C₂ = z⋅t⋅e^t
C₂ = (y²)⋅(x⋅y^-2)⋅e^t
C₂ = x⋅e^t
C = ln|x| + x⋅y^-2
y = √[x/ln|Сx|]

В ходе решения мы делили на z, х. При х = 0, у = 0, что соответствует полученному ответу. Однако при у = 0 х может принимать любые значения, поэтому отдельно отметим, что у = 0 при х ∈ R.

Удачи в решении однородных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными!