Объединённая межвузовская математическая олимпиада-2012

Январь, особенно его конец, очень насыщен для школьников: это период олимпиад, которые уже в конце весны могут помочь ребятам поступить в лучшие ВУЗы страны. Существует несколько разновидностей олимпиад школьников — очные и заочные. Чаще всего заочные олимпиады имеют второй очный тур, и сегодня мы познакомимся с одной из таких олимпиад, заочный тур которой закончится 31 января. В добрый путь!

Объединеная межвузовская математическая олимпиада. Вариант А

№1. Зная, что sin(x) + cos(x) = 1/3, найдите sin³x + cos³x (ответ запишите виде несократимой дроби a/b).
Решение: Возведём в квадрат данное равенство и получим, что sin(x)·cos(x) = -4/9. Используя формулу сокращнного умножения, сможем переписать:
sin³x + cos³x = (sin(x) + cos(x))·(sin²x + cos²x - sin(x)·cos(x)) = (sin(x) + cos(x))·(1 - sin(x)·cos(x)). Подставляя значения, получаем отве.

№2. Из города в одном направлении выехали тр автомобиля: второй - через 10 минут посл первого, третий - через 20 минут после второго. Через 30 минут после своего выезда третий автомобиль догнал второй, а ещё через 10 минут - первый. Через сколько минут после своего выезда из города второй автомобиль догнал первый?
Решение: Пусть х_i - скорось i-ой машины, измеренная в км/мин, i = 1, 2, 3. Тогда можем записать систему на основе данных о движении третьей машины:
{30х₃ = 50x₂
{40x₃ = 70₁
Решение системы даст нам отношение между скоростями первой и второй машин:

х₁/x₂ = 20/21
Пусть второй автомобиль догнал первый через t минут после своего выезда из города. Тогда:
(10 + t)·x₁ = t·x₂
t/(t + 10) = 20/21
Из последнего уравнения без труда находим искомую величину t.

№3. Вася округлил 10 нецелых чисел: log₂3, log₂5, log₂7, log₂11, log₂13, log₂17, log₂19, log₂23, log₂29, log₂31 до целых. Часть из них он округлил в большую сторону, часть - в меньшую. Сумма округлённых чисел равна 37. Сколько чисел Вася округлил в большую сторону?
Решение: предположим, что Вася все числа округлил в меньшую сторону. Тогда их сумма равна S = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 31. Очевидно, что при округлении одного числа в большую сторону сумма увеличится на единицу. Отсюда простым вычитанием не сложно рассчитать количество чисел, округлённых в большую сторону.

№4. Все 9-значные числа, десятичная запись которых содержит все цифры от 1 до 9 по одному разу, выписали в ряд в порядке возрастания. Каждую минуту выбирают наибольшее и наименьшее из них и стирают. Какие два числа будут стёрты последними.
Решение: Очевидно, что сначала вычеркивание будет производиться по первой цифре. Существует 8! (число перестановок) чисел, начинающихся с цифры 9, удовлетворяющих данным условиям. Столько же - начинающихся с цифры 1. Их количество кратно двум. Таким образом, вычеркнуты попарно будут числа, начинающиеся с цифр 1-9, 2-8, 3-7, 4-6. Останутся числа, которые начинаются на цифру 5. Дальнейшее вычеркивание будет производиться по второй цифре числа. Попарно будут вычеркнуты:
51...-59...
52...-58...
53...-57...
так как 7! (количество перестановок оставшихся цифр) также кратно двум.
Чисел, начинающихся с 54... и с 56... четное количество соответственно. Попарное вычёркивание приведёт к тому что останется наибольшее число, начинающееся с 54..., и наименьшее число, начинающееся с 56...

№5. В тупоугольном треугольнике провели срединные перпендикуляры к двум сторонам тупого угла. Они разбили третью сторону на три равных отрезка. Найдите углы треугольника.
Решение: Достаточно разобраться в рисунке и понять, что как доказывается. Для каждого доказательства достаточно знать, что треугольники, у которых равны две стороны и угол между ними, равны.

№6. У Феди было много кубиков с ребром 1. Он склеил из них фигуру, изображённую на рисунке (фигура состоит из двух кубов с ребром 3, которые имеют два общих кубика с ребром 1). Из скольких квадратиков со стороной 1 состоит поверхность такой фигуры?
Решение: если рисунок непонятен, просмотрите задания на сайте Олимпиады, но словесное описание весьма содержательное.
http://2.olimpiada.ru/arc/12/ommo/ommo2012-regtasks.pdf
Фигура симметрична. Каждый кубик содержит 6·9 = 54 квадратика. Из-за соприкосновения каждый кубик теряет по 5 квадратиков. Вычесть, сложить - и ответ готов.


Удачи на очном туре олимпиады!