Вот и подошёл к концу заочный тур олимпиады «Покори Воробьёвы Горы», проводимой ежегодно Московским государственным университетом и редакцией газеты «Московский Комсомолец». Впереди — очный тур и возможность поступления в самый престижный ВУЗ России — МГУ.
Разберём одну из математических задач.
В результате опроса учеников школы выяснилось, что ровно 68% учеников знают год рождения А. С. Пушкина, ровно 5/18 учеников умеют доказывать теорему Пифагора, ровно 23/30 учеников любят ходить в кино и ровно 512 учеников читали сказку А. Де Сент Экзюпери «Маленький принц». Найдите минимально возможное количество учеников в этой школе.
В условии задачи даны точные доли, равные целым количествам учеников.
68 % = 68/100 = 17/25.
Найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей (наименьший общий знаменатель):
НОК = НОК{25; 18; 30}
Для учеников младших классов — будущих абитуриентов — распишем нахождение наименьшего общего кратного более подробно.
Для этого сперва найдём наименьшее общее кратное двух чисел (второго и третьего). Второе и третье числа (18 и 30) желательно выбрать потому что они не являются взаимно простыми. Заметим, что взаимно простыми не являются также первое и третье числа (25 и 30).
Итак, приступим.
НОК₁ = НОК{18; 30} = НОК{3·6; 5·6} = 3·5·6 = 90
Теперь отыщем наименьшее общее кратное всех трёх чисел.
НОК = НОК{НОК₁; 25} = НОК{90; 25} = НОК{18·5; 5·5} = 18·5·5 = 450
Перейдём к нахождению минимально возможного числа учеников в школе (x). Оно кратно НОК и не может быть меньше 512 по условию задачи.
Пусть x = k·НОК, где k — натуральное (причём минимально возможное) число.
Составим неравенство и решим его сперва относительно k:
x = k·НОД = k·450 ≥ 512, откуда k ≥ 512/450 → min, k — натуральное
Выполнять деление вовсе не обязательно!
512 = 450 + 62 < 2·450
Получаем k = 2; x = 2·450 = 900
Ответ: 900 человек — минимально возможное количество учеников в школе.
Желаем всем успехов на очном туре олимпиады!
Комментариев нет:
Отправить комментарий