УМП по математическому анализу

С наступившим новым 2012 годом!

К сожалению, праздники кончаются и на носу экзамены и сессия. Чаще всего трудности вызывает математический анализ, особенно — теоретический материал. Есть всегда два варианта — тупо заучивать (лучше умно заучивать) или понимать. Не хочется глубоко капать и понимать? Предлагаю вам УМП, подготовленное по лекциям профессора МГУ имени М. В. Ломоносова Черемных Юрия Николаевича мною лично. Так что на вопросы отвечу грамотно=) Радуйтесь!

Скачать pdf файл

В данном пособии рассмотрены следующие темы:
Вопрос №1. Определение предела функции по Коши
Вопрос №2. Отрицание для определения предела функции по Коши.
Вопрос № 3. Определение предела функции по Гейне.
Вопрос №4. Отрицание определения предела функции по Гейне.
Вопрос №5. Теорема о бесконечно малом хвосте функции (доказательство).
Вопрос №6. Теоремы о пределе суммы, произведения и дроби функций.
Вопрос № 7. Определение непрерывной функции (по Коши, по Гейне), наглядная иллюстрация.
Вопрос №8. Классификация точек разрыва.
Вопрос №9. Теоремы о непрерывности суммы, произведения и дроби непрерывных функций.
Вопрос №10. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о предельном переходе в сложной функции.
Вопрос №11. Непрерывность функции y = sin(x) (доказательство).
Вопрос №12. Непрерывность функций y = tg(x) и y = ctg(x) (доказательство).
Вопрос №13. Непрерывность функции y = e^x (доказательство).
Вопрос №14. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
Вопрос №15. Первый замечательный предел (доказательство).
Вопрос №16. Второй замечательный предел (доказательство).
Вопрос № 17. Третий и четвёртый замечательные пределы (доказательство).
Вопрос №18. Пятый замечательный предел (доказательство).
Вопрос №19. Точка глобального максимума (минимума). Глобальный максимум (минимум) функции.
Вопрос №20. Теорема Вейерштрасса.
Вопрос № 21. Теоремы Больцано-Коши.
Вопрос №22. Равномерно непрерывная функция. Не равномерно непрерывная функция. Теорема Кантора.
Вопрос №23. Производная функции в точке (конечная, бесконечная). Не существование производной в точке. Вертикальная, наклонная, горизонтальная касательная к графику функции в точке (x; f(x)).
Вопрос № 24. Вертикальные касательные — «клювы», вертикальный перегиб, «угловые» точки.
Вопрос №25. Приближённое представление конечной производной. Предельная и точечная эластичность функции.
Вопрос №26. Взаимосвязь между дифференцируемой и непрерывной функцией. Пример Ван-дер-Вардена.
Вопрос №27. Теорема о производной суммы и произведения конечного числа функций. Теорема о производной частного функций.
Вопрос №28. Теорема о производной сложной функции.
Вопрос №29. Теорема о производной обратной функции.
Вопрос № 30. Нахождение производных элементарных функций по определению.
Вопрос №31. Точка локального максимума (сильного, слабого). Локальный максимум (сильный, слабый). Сравнение с глобальным максимумом.
Вопрос №32. Точка локального минимума (сильного, слабого). Локальный минимум (сильный, слабый). Сравнение с глобальным минимумом.
Вопрос №33. Теорема Ферма или необходимое условие локального экстремума (доказательство).
Вопрос №34. Теорема Ролля (доказательство).
Вопрос №35. Теорема Коши о среднем значении (доказательство).
Вопрос №36. Теорема Лагранжа о среднем значении (доказательство). Геометрическая интерпретация.
Вопрос №37. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределённости вида [0/0]).
Вопрос № 38. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
Вопрос №39. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции в промежутке. Достаточное условие локального экстремума функции одной переменной.