Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

четверг, 16 июня 2011 г.

Прямые в пространстве

Задача по аналитической геометрии

Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку   A(−6; −1; −3)   и пересекающей прямую   (x − 22)/5 = (y + 1)/(−1) = (z + 73)/(−18)   под прямым углом.
Анализ задачи.
Многие студенты (и не только студенты) начинают подбирать известные им формулы аналитической геометрии, составлять уравнение плоскости, проходящей через заданные точку и прямую либо перпендикулярно к заданной прямой. Затем ищут точку пересечения прямой и плоскости либо координаты основания перпендикуляра, опущенного с точки на прямую. И лишь потом составляют каноническое уравнение искомой прямой. В результате, если и удаётся прийти к верному ответу, то решение оказывается слишком громоздким и нерациональным.
По условию задачи требуется через точку провести прямую, перпендикулярную заданной прямой.

Решение.
Обозначим через   c   заданную прямую, d — искомая прямая.
τ = {5; −1; −18} — направляющий вектор прямой   c.
Составим параметрические уравнения прямой   c:

{x = 5·t + 22
{y = −t − 1
{z = −18·t − 73

Пусть   B(5·t + 22; −t − 1; −18·t − 73) — произвольная точка на прямой   c.

Выразим координаты вектора   AB:

AB = {5·t + 22 + 6; −t − 1 + 1; −18·t − 73 + 3} = {5·t + 28; −t; −18·t − 70}.

Подберём такое значение параметра   t, чтобы векторы   τ   и   AB   были перпендикулярны:
τAB. При этом их скалярное произведение будет равняться нулю:   τ·AB = 0.

Вычислим скалярное произведение, приравняем его к нулю и решим составленное уравнение относительно параметра   t:

τ·AB = 5·(5·t + 28) − 1·(−t) − 18·(−18·t − 70) = (5² + 1 + 18²)·t + 140 + 18·70 =
= (25 + 1 + 324)·t + (1 + 9)·140 = 350·t + 10·140 = 350·t + 1400 = 350·(t + 4) = 0

t = −4.

Найдём теперь координаты вектора   AB   при   t = −4:

AB = {5·(−4) + 28; −(−4); −18·(−4) − 70} = {−20 + 28; 4; 72 − 70} =
= {8; 4; 2} = 2·{4; 2; 1},
AB = 2·{4; 2; 1}.

Найденный вектор   AB   является направляющим вектором искомой прямой   d, поскольку он проходит через точку   A   перпендикулярно к прямой   c.

Составим каноническое уравнение прямой   c:

(x + 6)/4 = (y + 1)/2 = (z + 3)/1

©   http://5ballov.pp.ua/


Авторские права защищены

Комментариев нет:

Отправить комментарий