Задача по аналитической геометрии
Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(−6; −1; −3) и пересекающей прямую (x − 22)/5 = (y + 1)/(−1) = (z + 73)/(−18) под прямым углом.Анализ задачи.
Многие студенты (и не только студенты) начинают подбирать известные им формулы аналитической геометрии, составлять уравнение плоскости, проходящей через заданные точку и прямую либо перпендикулярно к заданной прямой. Затем ищут точку пересечения прямой и плоскости либо координаты основания перпендикуляра, опущенного с точки на прямую. И лишь потом составляют каноническое уравнение искомой прямой. В результате, если и удаётся прийти к верному ответу, то решение оказывается слишком громоздким и нерациональным.
По условию задачи требуется через точку провести прямую, перпендикулярную заданной прямой.
Решение.
Обозначим через c заданную прямую, d — искомая прямая.
τ = {5; −1; −18} — направляющий вектор прямой c.
Составим параметрические уравнения прямой c:
{x = 5·t + 22
{y = −t − 1
{z = −18·t − 73
Пусть B(5·t + 22; −t − 1; −18·t − 73) — произвольная точка на прямой c.
Выразим координаты вектора AB:
AB = {5·t + 22 + 6; −t − 1 + 1; −18·t − 73 + 3} = {5·t + 28; −t; −18·t − 70}.
Подберём такое значение параметра t, чтобы векторы τ и AB были перпендикулярны:
τ ⊥ AB. При этом их скалярное произведение будет равняться нулю: τ·AB = 0.
Вычислим скалярное произведение, приравняем его к нулю и решим составленное уравнение относительно параметра t:
τ·AB = 5·(5·t + 28) − 1·(−t) − 18·(−18·t − 70) = (5² + 1 + 18²)·t + 140 + 18·70 =
= (25 + 1 + 324)·t + (1 + 9)·140 = 350·t + 10·140 = 350·t + 1400 = 350·(t + 4) = 0
t = −4.
Найдём теперь координаты вектора AB при t = −4:
AB = {5·(−4) + 28; −(−4); −18·(−4) − 70} = {−20 + 28; 4; 72 − 70} =
= {8; 4; 2} = 2·{4; 2; 1},
AB = 2·{4; 2; 1}.
Найденный вектор AB является направляющим вектором искомой прямой d, поскольку он проходит через точку A перпендикулярно к прямой c.
Составим каноническое уравнение прямой c:
Комментариев нет:
Отправить комментарий