Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, её момент инерции относительно оси
J = 0,075 кг·м². По трубке под действием внутренних сил системы движется шарик M массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω₀ = 4 рад/с. При каком расстоянии ℓ угловая скорость равна ω₁ = 3 рад/с?
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из прикреплённой к вертикальному стержню трубки и перемещающегося внутри трубки шарика.
Внешними силами, действующими на систему, являются: силы тяжести трубки и шарика, реакции подшипника и подпятника (на рисунке не показаны). Трение в опорах отсутствует. Связи, наложенные на систему, — идеальные. Каждая из перечисленных внешних сил (силы тяжести, опорные реакции) лежат в одной плоскости с осью Oz. Моменты всех сил относительно оси Oz — оси вращения — равны нулю. Рассматриваемая механическая система замкнута относительно оси вращения, и к ней можно применить закон сохранения момента импульса (кинетического момента):
L = J·ω = const или J₀·ω₀ = J₁·ω₁,
где L — момент импульса (кинетический момент) механической системы.
В начальном состоянии момент инерции механической системы был равен моменту инерции трубки: J₀ = J. В момент наблюдения момент инерции системы складывался из момента инерции трубки и момента инерции шарика, расположенного на расстоянии ℓ от оси вращения (m·ℓ²): J₁ = J + m·ℓ².
На основе закона сохранения момента импульса составим уравнение и решим его относительно ℓ:
J₀·ω₀ = J₁·ω₁ ⇒ J·ω₀ = (J + m·ℓ²)·ω₁ ⇒ J·(ω₀ − ω₁) = m·ℓ²·ω₁ ⇒ ℓ² = J·(ω₀ − ω₁)/(m·ω₁)
Подставим численные значения:
ℓ² = 0,075·(4 − 3)/(0,1·3) = 0,25 м² ⇒ ℓ = √0,25 = 0,5 м = 50 см
Ответ: ℓ = 50 см
Распространённой ошибкой при решении подобных задач является применение закона сохранения энергии. Приравнивая кинетическую энергию систему в начальном и конечном положении, упускают из виду работу внутренних сил системы по перемещению шарика. В рассматриваемой задаче работа положительна, что приводит к уменьшению кинетической энергии системы. Корректное выражение закона сохранения энергии имеет вид:
T₀ = T₁ + A, откуда изменение кинетической энергии системы: ΔT = T₁ − T₀ = −A ≠ 0
Комментариев нет:
Отправить комментарий