Предлагаю Вам познакомиться с одной из вызывающих затруднения задач — квадратным неравенством с параметром.
Задание.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любое решение неравенства
a·x² + (1 − a²)·x − a > 0 принадлежит отрезку [−2; 2].
Я бы посоветовал Вам решение любой задачи начинать не с бездумного подбора формул, а с внимательного прочтения условия. Бывает, что в самом условии красивой, грамотно составленной задачи уже содержится ключ к её решению.
Теперь познакомьтесь, пожалуйста, с примером того, как не нужно решать такие задачи. Безграмотное применение формул из справочника может привести и, как правило, приводит к ошибке и соответственно — к потере баллов на экзамене.
Показываю я Вам неверное решение для того, чтобы Вы не повторяли чужих ошибок и поверили в собственные силы.
В нашем с Вами решении будет много устных пояснений и совсем мало расчётов.
Графиком квадратичной функции ƒ(x) = a·x² + (1 − a²)·x − a является квадратная парабола.
Чтобы любое (каждое, согласно условию задачи) решение неравенства ƒ(x) > 0 принадлежало ограниченному отрезку, необходимо (но не достаточно!) , чтобы ветви параболы были направлены вниз. Это достигается при условии отрицательности коэффициента перед x². В нашей задаче коэффициент равен a.
Итак, первое условие a < 0.
Проверять положительность дискриминанта и искать корни квадратного трёхчлена не придётся — корни существуют. Разложение квадратного трёхчлена на множители очевидно:
ƒ(x) = a·x² + (1 − a²)·x − a = (x − a)·(a·x + 1) = a·(x − a)·(x + 1/a)
Корни квадратного трёхчлена: x₁ = a; x₂ = −1/a.
Поскольку неравенство строгое (ƒ(x) > 0) — нули функции ƒ(x) должны быть различны (x₁ ≠ x₂). Покажем это опять таки без вычисления дискриминанта.
Согласно теореме Виета произведение корней отрицательно: x₁·x₂ = −1 < 0, а значит, и сами корни — различны.
Чтобы при некотором значении параметра a любое решение неравенства принадлежало заданному отрезку [−2; 2], необходимо (и достаточно!), чтобы нули функции ƒ(x) также принадлежали заданному отрезку:
x₁, x₂ ∈ [−2; 2]
Границы отрезка симметричны симметричны относительно начала координат, что позволяет нам перейти к модулям и упростить решение поставленной задачи:
|x₁|, |x₂| ≤ 2
Учитывая, что |x₁| = |a|, |x₂| = 1/|a|, составим и решим систему неравенств:
| {a < 0 {|x₁| = |a| ≤ 2 {|x₂| = 1/|a| ≤ 2 | ⇒ | {a < 0 {|a| ≤ 2 {|a| ≥ ½ | ⇒ | {a < 0 {½ ≤ |a| ≤ 2 | ⇒ | −2 ≤ a ≤ −½ |
Ответ: −2 ≤ a ≤ −½
Как видите, при аккуратном и внимательном подходе задача не должна вызвать затруднений.
Успехов на экзамене!
Комментариев нет:
Отправить комментарий