Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

суббота, 4 июня 2011 г.

Квадратное неравенство с параметром (задание С5 ЕГЭ)

6 июня 2011 года будет проходить Единый Государственный Экзамен (ЕГЭ) по математике.
Предлагаю Вам познакомиться с одной из вызывающих затруднения задач — квадратным неравенством с параметром.

Задание.
Найдите все значения параметра   a, при каждом из которых любое решение неравенства
a·x² + (1 − a²)·x − a > 0   принадлежит отрезку [−2; 2].

Я бы посоветовал Вам решение любой задачи начинать не с бездумного подбора формул, а с внимательного прочтения условия. Бывает, что в самом условии красивой, грамотно составленной задачи уже содержится ключ к её решению.
Теперь познакомьтесь, пожалуйста, с примером того, как не нужно решать такие задачи. Безграмотное применение формул из справочника может привести и, как правило, приводит к ошибке и соответственно — к потере баллов на экзамене.
Показываю я Вам неверное решение для того, чтобы Вы не повторяли чужих ошибок и поверили в собственные силы.

9-11 классы, ЕГЭ математика, алгебра, разбор задач, репетитор по математике, решение ЕГЭ

В нашем с Вами решении будет много устных пояснений и совсем мало расчётов.
Графиком квадратичной функции   ƒ(x) = a·x² + (1 − a²)·x − a   является квадратная парабола.
Чтобы любое (каждое, согласно условию задачи) решение неравенства   ƒ(x) > 0   принадлежало ограниченному отрезку, необходимо (но не достаточно!) , чтобы ветви параболы были направлены вниз. Это достигается при условии отрицательности коэффициента перед   x². В нашей задаче коэффициент равен   a.
Итак, первое условие   a < 0.
Проверять положительность дискриминанта и искать корни квадратного трёхчлена не придётся — корни существуют. Разложение квадратного трёхчлена на множители очевидно:

ƒ(x) = a·x² + (1 − a²)·x − a = (x − a)·(a·x + 1) = a·(x − a)·(x + 1/a)

Корни квадратного трёхчлена:   x₁ = a;   x₂ = −1/a.

Поскольку неравенство строгое (ƒ(x) > 0) — нули функции   ƒ(x)   должны быть различны (x₁ ≠ x₂). Покажем это опять таки без вычисления дискриминанта.
Согласно теореме Виета произведение корней отрицательно:   x₁·x₂ = −1 < 0, а значит, и сами корни — различны.
Чтобы при некотором значении параметра   a   любое решение неравенства принадлежало заданному отрезку   [−2; 2], необходимо (и достаточно!), чтобы нули функции   ƒ(x)   также принадлежали заданному отрезку:

x₁, x₂ ∈ [−2; 2]

Границы отрезка симметричны симметричны относительно начала координат, что позволяет нам перейти к модулям и упростить решение поставленной задачи:

|x₁|, |x₂| ≤ 2

Учитывая, что   |x₁| = |a|,   |x₂| = 1/|a|, составим и решим систему неравенств:

{a < 0
{|x₁| = |a| ≤ 2
{|x₂| = 1/|a| ≤ 2
  ⇒   {a < 0
{|a| ≤ 2
{|a| ≥ ½
  ⇒   {a < 0
{½ ≤ |a| ≤ 2
  ⇒   −2 ≤ a ≤ −½

Ответ:   −2 ≤ a ≤ −½

Как видите, при аккуратном и внимательном подходе задача не должна вызвать затруднений.
Успехов на экзамене!

Комментариев нет:

Отправить комментарий