XXXIV Турнир имени М.В. Ломоносова 25 сентября 2011 года. Конкурс по математике

Дорогие ребята! 25 сентября 2011 года в городе Москва прошёл ежегодный турнир по математике имени Ломоносова. Ребята, начиная с 6 класса, решали задачи по физике, химии, математике, писали развёрнутые ответы по астрономии, истории, биологии... 5 часов в различных корпусах МГУ ребята старались показать все свои знания. В данной записи мы рассмотрим задания и решения задач по математике, ведь наверняка многим интересно, верно они решили ту или иную задачу. В скобках после номера задачи указываются рекомендуеммые классы.

№1(6 - 7). Один торговец продаёт сливы по 150 рублей за килограмм, а второй - по 100 рублей. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго - половину. Чьи сливы выгоднее покупать?
Решение:
Итак, за что мы платим? За сливы или за косточки? Рассмотрим внимательнее. Первый продаёт (1 - 1/3) кг мякоти слив за 150 рублей, то есть 150·3\2 = 225 рублей за килограмм. Второй продаёт (1 - 1\2) кг мякоти слив за 100 рублей, то етсь 100·2 = 200 рублей за килограмм мякоти)
Итак, у второго покупать дешевле.
Ответ: сливы второго продавца

№2(6 - 8). Внутри забора, представляющего собой замкнутую несамопересекающуюся ломаную, заперт тигр. На рисунке видна только часть забора (положение тигра показано крестиком). Нарисуйте, как мог бы выглядеть весь забор (забор может идти только по линиям сетки).
Решение:
Здесь существует множество решений, однако с тольку и верного пути сбивает представленная нам картина - есть желание уместить лабиринт в прямоугольнике 5х6. Однако это далеко не обязательно, ведь рядом представлены и другие клетки. Один из возможных варианта:

№3 (6 - 11). Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие - на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в ниждей половине, а в маленьких - какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть - в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
Решение:
Задача необычна тем, что маленькие часы находятся в состоянии неопределённости. Постараемся эту неопределённость разрешить.
1) Перевернём при начале кипения большие часы. спустя некоторое время, для определённости х минут, песок в маленьких часах кончится, а в больших останется песка на (5 - х) минут.
2) Перевернём большие и маленькие часы. Спустя х минут, в больших часах весь песок будет внизу, а в маленьких часах останется песка на (2 - х) минут.
3) Перевернём большие часы. Спустя (2 - х) минут, маленькие часы будут пусты, а в больших останется песка на (5 - 2 + х) = (3 + х) минут.
4) Перевернём большие часы. Спустя (5 - 3 - х) = (2 - х) минут песок весь окажется внизу.
Итак, прошло х + х + (2 - х) + (2 - х) = 4 минуты.
Последующие 2 шага очевидны: последовательное переворачивание маленьких часов (к данному моменту весь песок в них внизу) 2 раза приведёт к точному отмерению 8 минут.

№4 (8 - 9). На дверце сейфа написано произведение степеней aⁿ·b^m·c^k. Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв натуральным числом так, чтобы в произведении получился куб натурального числа. Пинки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?
Решение:
Рассмотрим несколько отдельных случаев.
I) Пусть в паре aⁿ заменена произвольным числом степень. Тогда пусть а = с³, где с - натуральное число. Тогда (с³)ⁿ = (cⁿ)³ - куб натурального числа.
II) Пусть в паре aⁿ заменено произвольным числом основание. Тогда пусть n = 3, так как при этом получаем, что а³ - куб натурального числа.
III) Пусть в паре aⁿ заменены обе цифры. Тогда при данных условиях задачи во второй паре заменена одна цифра, а в третьей (для определённости в c^k) - ни одной. В таком случае пусть с = а, а k - такое число, что (n + k) кратно 3, k > 0.
Заметим, что мы рассмотрели все возможные случаи для размещения чисел. Если в каждой паре заменено по 1 цифре, для каждой пары используем случай I) или II). Если в одной паре заменено 2 цифры, используем для неё и пустой пары случай III), а для третьей пары случай I) или II).
Ответ: можно всегда

№5 (8 - 11). На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утверждает, что его можно разрезать диагональю на 2 остроугольных треугольника. Боря - что можно на два прямоугольных, а Вася - что на два тупоугольных. Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно наверняка утверждать, что он прав?
Решение: Для начала легко можно нарисовать примеры ситуаций, когда правы Вася и Боря или Вася и Алёша:


Можно ли нарисовать такой четырёхугольник, который двумя разными диагоналями можно разбить на 2 остроугольных или 2 прямоугольных треугольника соответственно? Предположим, что да. Тогда рассмотрим рисунок:
Рассмотрим 2 возможных случая.
1) Один из смежных уголов (a₁, a₂, c₁, c₂) Равен 90 градусов. Однако в таком случае a₁, + a₂, > 90, или с₁, + с₂ > 90, что означает, что при ином разбиении мы получим тупоугольный треугольник. Противоречие.
2) b₁ = b₂ = 90. Тогда a₁ + a₂ + c₁ + c₂ = 180. Однако это означает, что хотя бы один угол из a₁ + a₂ и c₁ + c₂ не меньше 90 градусов. Остроугольные треугольники не получаются, противоречие.
Ответ: Вася наверняка прав.

№6 (10 - 11). Прямоугольник площади 14 делит сторону квадрата в отношении 1 к 3 (см. рис.). Найдите площадь квадрата.
Решение:
Очевидно, что сторона квадрата равна 4х. Тогда по теореме Пифагора b = √(16x² + 9²) = 5x. Обратим внимание на 2 жёлтых треугольника. Они подобны, так как оба прямоугольные и имеют по равному углу (вертикальные углы равны). Поэтому можем записать пропорцию:
a\4x = x\5x = 1\5
a = (4\5)x

Вновь по теореме Пифагора найдём часть большей стороны прямоугольника:
d = √(x² - a²) = √(x² - (16\25)²) = (3\5)x

Итак, площадь прямоугольника S = (3х\5 + 5х)·(4x\5) = 14
28·4x² = 25·14
16x² = 25·14\7
Площадь квадрата S¹ = 16x² = 50
Ответ: 50

№7 (10 - 11). Целые числа m и n таковы, что сумма √n + ³√m целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Решение:
Пусть √n + ³√m = z, z∈Z. Тогда ³√m = z - √n. Возведём выражение в куб:
m = z³ - 3·z²√n + 3·z·n - n√n
Отсюда получаем, что:
√n = (z³ + 3·z·n - m)\(3·z² + n)
√n - число рациональное.
Предположим, что √n является несократимой дробью с целыми числителем и знаменателем. Но тогда n также несократимая дробь, что противоречит тому, что n - целое число. Поэтому √n является целым числом, а следовательно и ³√m - целое число, что и требовалось доказать.
Ответ: Верно