Система алгебраических уравнений

Найдём решения системы уравнений

{x³ + y³ = 35
{x²·y + x·y² = 30

Отметим, что данная система уравнений симметрична относительно переменных. Это значит, что, если (x, y) — решение системы, то (y, x) тоже будет решением системы.
Домножим второе уравнение системы на 3 и прибавим его почленно в первому уравнения. Второе же уравнение запишем, разложив перед этим его левую часть на множители:

{x³ + 3·x²·y + 3·x·y² + y³ = 35 + 3·30
{x·y·(x + y) = 30

Левая часть первого уравнения теперь представляет собою куб суммы двух переменных:

{(x + y)³ = 125 = 5³
{x·y·(x + y) = 30

Извлечём кубический корень из левой и правой частей первого уравнения. Поскольку извлекается корень нечётной степени, — число действительных решений системы при этом не изменится.

{x + y = 5
{x·y·(x + y) = 30

Разделим теперь почленно второе уравнение системы на первое:

{x + y = 5
{x·y = 6

Из последней системы легко увидеть, что   x, y — суть различные (при условии, что они различны) корни квадратного уравнения t² − 5·t + 6, сумма корней которого равна 5, а их произведение — 6.
Для отыскания корней одну переменную через другую выражать не нужно!
Решения исходной системы (а действительных решений — два) найдём по теореме Виета для квадратного уравнения.

Ответ:   (x, y) = {(2, 3), (3, 2)}.