Дорогие школьники!
Сегодня я подготовил для вас подарок — подробное решение 3-й задачи заочного тура олимпиады по физике. Сложность этой задачи в том, что она — комплексная: требует применения знаний из кинематики, динамики, электродинамики, геометрии… Пожалуйста, используйте материалы сайта с умом: не переписывайте решения дословно. Вы должны понимать, что несколько идентичных работ не получат положительные оценки от жюри олимпиады. Если возникнут сложности с подготовкой к очному туру олимпиады — обращайтесь ко мне через форму обратной связи на сайте.И не забывайте, что согласно Регламенту проведения Олимпиады работы должны быть отправлены до 15 января 2011 года (до 24.00 часов по московскому времени). В этом году сроки отправки работ продлеваться не будут.
«Магнитный удар»
Из верхней точки закрепленного вертикально проводящего кольца радиуса R падает без начальной скорости маленькое тело. В момент пролета телом центра кольца через кольцо пропускают заряд величиной Q (время прохождения заряда много меньше времени падения тела). В результате тело отклонилось от вертикали и его соударение с кольцом произошло не в нижней точке кольца, а на высоте h ≪ R. Найти удельный заряд тела (то есть отношение заряда к массе).
Перейдём к решению задачи
Выразим время, за которое тело переместится из верхней точки в центр кольца. Надеюсь, олимпиадникам кинематические формулы напоминать не нужно :)
t₁ = √(2·R/g) (g — ускорение свободного падения).
Время, за которое тело переместится из верхней точки траектории в нижнюю:
t₂ = √(2·(2·R − h)/g).
Учитывая, что h ≪ R по условию, можем записать:
t₂ = √(4·R/g) = √2·√(2·R/g) = t₁·√2.
Тогда время, за которое тело переместится из центра кольца в нижнюю точку траектории, будет равно:
t = t₂ − t₁ = t₁·√2 − t₁ = (√2 − 1)·t₁.
Скорость тела (её вертикальная составляющая) при прохождении через центр кольца
v = √(2·g·R)
Обозначим через m массу тела, q — его заряд. Направим координатную ось x горизонтально влево, а ось y — отвесно вниз, совместив начало координат (точку O) с центром кольца. Замечу, что систему координат вводить не обязательно, поскольку мы не будем решать эту задачу координатным способом.
А теперь воспользуемся подсказкой из самого условия (более того — из названия) задачи. Речь идёт об ударе, т. е. о передаче телу некоторого импульса со стороны магнитного поля.
Заряд Q, проходя через кольцо за очень малый (по условию задачи) промежуток времени Δt, создаёт в кольце круговой ток I = Q/Δt. Для определённости направим круговой ток против часовой стрелки.
Круговой ток создаёт в центре кольца магнитную индукцию B = μ₀·I/(2·R) (μ₀ — магнитная постоянная).
Согласно правилу правого винта (правилу «буравчика») вектор магнитной индукции B направлен перпендикулярно плоскости кольца на нас.
На заряженное тело, движущееся в магнитном поле, действует сила Лоренца F = q·v·B.
Согласно правилу левой руки вектор силы Лоренца F направлен горизонтально влево.
Согласно второму закону Ньютона сила Лоренца сообщает телу дополнительный горизонтальный импульс p = m·u = F·Δt, откуда горизонтальная составляющая скорости тела, приобретённая за счёт действия сил магнитного поля, будет равна: u = F·Δt/m.
Отклонение тела по горизонтали x = u·t.
Выразим горизонтальное отклонение из прямоугольного треугольника OAC по теореме Пифагора:
AC² = OC² − OA²
x² = R² − (R − h)²
Используя формулу разности квадратов, запишем: x² = (2·R − h)·h.
Но h ≪ R по условию. Тогда x² = 2·R·h, откуда x = √(2·R·h).
Теперь будем последовательно, аккуратно и внимательно решать составленные уравнения относительно удельного заряда тела q/m.
x = u·t = √(2·R·h)
(F·Δt/m)·(√2 − 1)·t₁ = √(2·R·h)
(√2 − 1)·F·Δt·t₁/m = √(2·R·h)
(√2 − 1)·q·v·B·Δt·t₁/m = √(2·R·h)
Учитывая, что от верхней точки до центра кольца тело движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью и проходит при этом путь, равный R, получим:
v·t₁ = 2·R.
Подумайте над тем, чтобы не выражать скорость и время :)
Тогда
2·(√2 − 1)·q·R·B·Δt/m = √(2·R·h)
2·(√2 − 1)·q·R·(μ₀·I/(2·R))·Δt/m = √(2·R·h)
(√2 − 1)·q·μ₀·I·Δt/m = √(2·R·h)
Но I·Δt = Q. Ура! Уравнение упрощается.
(√2 − 1)·μ₀·Q·q/m = √(2·R·h)
Удельный заряд тела
q/m = √(2·R·h)/((√2 − 1)·μ₀·Q) = (√2 + 1)·√(2·R·h)/(μ₀·Q)
Сделайте проверку размерности!
Удачи на олимпиаде.
Обязательно подпишитесь на обновления сайта.
Продолжение следует…
Комментариев нет:
Отправить комментарий