Дифференциальное уравнение третьего порядка

Найдём общее решение дифференциального уравнения третьего порядка со специальной правой частью

x³·y‴ + 2·x²·y″ = 4

Это дифференциальное уравнение можно сократить на   x³   и получить уравнение Бернулли относительно   y″ :

y‴ + 2·y″/x = 4/x³

Часто задачу можно решить намного быстрее, внимательно изучив её условие и вспомнив правила дифференцирования. Разделим обе части уравнения на   x:

x²·y‴ + 2·x·y″ = 4/x

В левой части уравнения — производная произведения. Действительно,

x²·y‴ + 2·x·y″ = x²·(y″)′ + (x²)′·y″ = (x²·y″)′

Тогда исходное дифференциальное уравнение запишется в виде:

(x²·y″)′ = 4/x

Осталось проинтегрировать трижды.

x²·y″ = 4·∫dx/x = 4·(ln|C₁·x| − 1),

где   4·(ln|C₁| − 1) — постоянная интегрирования.

Разделим обе части на   x²   и проинтегрируем повторно.

y″ = 4·(ln|C₁·x| − 1)/x²

y′ = 4·∫(ln|C₁·x| − 1)·dx/x² = [интегрирование по частям] = −4·∫(ln|C₁·x| − 1)·d(1/x) =

= 4·(1 − ln|C₁·x|)/x + 4·∫(1/x ·d(ln|C₁·x| − 1)) = 4·(1 − ln|C₁·x|)/x + 4·∫dx/x² =

= 4·(1 − ln|C₁·x|)/x − 4/x + C₂ = C₂ − 4·ln|C₁·x|/x

И наконец, проинтегрируем ещё раз.

y = ∫(C₂ − 4·ln|C₁·x|/x)·dx = C₂·x − 4·∫ln|C₁·x|·dx/x = C₂·x − 4·∫ln|C₁·x|·d(ln|C₁·x|) =

= C₂·x − 2·ln²|C₁·x| + C₃

y = C₂·x − 2·ln²|C₁·x| + C₃ —

общее решение дифференциального уравнения