Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

воскресенье, 24 января 2010 г.

Интегрирование иррациональных выражений (тригонометрическая подстановка)

Найдём неопределённый интеграл
I = √(x² + 9)·dx/x

Это интеграл от иррациональной функции. Покажем, как найти его с помощью тригонометрической подстановки.

Пусть x = 3·tg t.

Тогда √(x² + 9) = √(9·tg²t + 9) = 3/cos t; dt = 3/cos²t


I = 9·dt/(3·tg t·cos³t) = 3·dt/(sin t·cos²t) =

= 3·sin t·dt/(sin²t·cos²t)

Внесём cos t под знак дифференциала и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

I = −3·d(cos t)/((1 − cos²t)·cos²t)

Применим теперь подстановку z = cos t.


I = −3·dz/((1 − z²)·z²)

Разложим теперь дробь в сумму элементарных дробей методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.

−3/((1 − z²)·z²) = −3/z² −3/(1 − z²) =

= −3/z² − 3/(1 − z²) =
−3/z² − 3/((1 − z)·(1 + z)) =

= −3/z² − ³/₂·(1/(1 − z) + 1/(1 + z))

Тогда

I = −3·∫dz/z² − ³/₂·(1/(1 − z) + 1/(1 + z))·dz =


= 3/z + ³/₂·ln|C²·(1 − z)/(1 + z)| =

= 3/cos t + ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)/(1 + cos t)| =

= 3/cos t +

+ ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)²/((1 + cos t)·(1 − cos t))| =

=
3/cos t + ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)²/(1 − cos²t)| =

= 3/cos t + ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)²/sin²t| =

= 3/cos t + 3·ln|C·(1 − cos t)/sin t| =

= 3/cos t + 3·ln|C·(3/cos t − 3)/(3·tg t)|


I = √(x² + 9) + 3·ln|C·(√(x² + 9) − 3)/x|

Комментариев нет:

Отправить комментарий