Интегрирование иррациональных выражений (тригонометрическая подстановка)

Найдём неопределённый интеграл

I = ∫√(x² + 9)·dx/x

Это интеграл от иррациональной функции. Покажем, как найти его с помощью тригонометрической подстановки.

Пусть x = 3·tg t.

Тогда √(x² + 9) = √(9·tg²t + 9) = 3/cos t; dt = 3/cos²t

I = ∫9·dt/(3·tg t·cos³t) = 3·∫dt/(sin t·cos²t) =

= 3·∫sin t·dt/(sin²t·cos²t)

Внесём cos t под знак дифференциала и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

I = −3·∫d(cos t)/((1 − cos²t)·cos²t)

Применим теперь подстановку z = cos t.

I = −3·∫dz/((1 − z²)·z²)

Разложим теперь дробь в сумму элементарных дробей методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.

−3/((1 − z²)·z²) = −3/z² −3/(1 − z²) =

= −3/z² − 3/(1 − z²) = −3/z² − 3/((1 − z)·(1 + z)) =

= −3/z² − ³/₂·(1/(1 − z) + 1/(1 + z))

Тогда

I = −3·∫dz/z² − ³/₂·∫(1/(1 − z) + 1/(1 + z))·dz =

= 3/z + ³/₂·ln|C²·(1 − z)/(1 + z)| =

= 3/cos t + ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)/(1 + cos t)| =

= 3/cos t +

+ ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)²/((1 + cos t)·(1 − cos t))| =

= 3/cos t + ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)²/(1 − cos²t)| =

= 3/cos t + ³/₂·ln|C²·(1 − cos t)²/sin²t| =

= 3/cos t + 3·ln|C·(1 − cos t)/sin t| =

= 3/cos t + 3·ln|C·(3/cos t − 3)/(3·tg t)|

I = √(x² + 9) + 3·ln|C·(√(x² + 9) − 3)/x|