Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

понедельник, 27 декабря 2010 г.

Система квадратных уравнений с параметром

Рассмотрим задачу, которая может быть полезна при подготовке к ЕГЭ по математике (ЗНО з математики, ЦНТ).

Найти значения параметра   a,   при которых два квадратных уравнения имеют общий корень.

{x² + a·x + 8 = 0
{x² + x + a = 0

Сразу оговоримся, что эти квадратные уравнения должны иметь действительные корни. Иными словами, дискриминанты квадратных уравнений должны быть неотрицательны. В нашей задаче предварительная проверка условия неотрицательности дискриминантов может не потребоваться. Более того: мы без таковой проверки сможем обойтись.
Учитывая, что   x = 0   не является корнем первого уравнения, выразим параметр   a   из первого и второго уравнений:

{a = −(x² + 8)/x = −x − 8/x
{a = −x² − x

Приравнивая правые части уравнений составленной системы, получим:

x² = 8/x ⇒ x³ = 8 ⇒ x = 2

Мы нашли общий корень обоих квадратных уравнений. Нахождение параметра   a   и элементарная проверка существования действительных корней будет заключаться в подстановке найденного корня в оба исходных квадратных уравнения.

{2² + 2·a + 8 = 2·(a + 6) = 0
{2² + 2 + a = a + 6 = 0

a = −6

После подстановки мы получили два эквивалентных линейных уравнения относительно   a,   что подтверждает принадлежность найденного действительного корня обоим квадратным уравнениям.

Ответ:   a = −6,   x = 2.

1 комментарий: