Рассмотрим задачу, которая может быть полезна при подготовке к ЕГЭ по математике (ЗНО з математики, ЦНТ).
Найти значения параметра a, при которых два квадратных уравнения имеют общий корень.
{x² + a·x + 8 = 0
{x² + x + a = 0
Сразу оговоримся, что эти квадратные уравнения должны иметь действительные корни. Иными словами, дискриминанты квадратных уравнений должны быть неотрицательны. В нашей задаче предварительная проверка условия неотрицательности дискриминантов может не потребоваться. Более того: мы без таковой проверки сможем обойтись.
Учитывая, что x = 0 не является корнем первого уравнения, выразим параметр a из первого и второго уравнений:
{a = −(x² + 8)/x = −x − 8/x
{a = −x² − x
Приравнивая правые части уравнений составленной системы, получим:
x² = 8/x ⇒ x³ = 8 ⇒ x = 2
Мы нашли общий корень обоих квадратных уравнений. Нахождение параметра a и элементарная проверка существования действительных корней будет заключаться в подстановке найденного корня в оба исходных квадратных уравнения.
{2² + 2·a + 8 = 2·(a + 6) = 0
{2² + 2 + a = a + 6 = 0
⇓
a = −6
После подстановки мы получили два эквивалентных линейных уравнения относительно a, что подтверждает принадлежность найденного действительного корня обоим квадратным уравнениям.
Ответ: a = −6, x = 2.
рациональное решение
ОтветитьУдалить