Тригонометрическое уравнение

Рассмотрим и решим тригонометрическое уравнение

sin⁸(2·x) + cos⁸(2·x) = ⁴¹⁄₁₂₈

Это уравнение можно решить, выделяя в его левой части основное тригонометрическое тождество   sin²t + cos²t = 1. Мы же воспользуемся другим способом. Учитывая, что показатели степеней при тригонометрических функциях чётные и равны между собою, применим формулы понижения степени:

sin²(2·x) = ½(1 − cos(4·x));   cos²(2·x) = ½(1 + cos(4·x))

Исходное уравнение запишется в виде:

(½(1 − cos(4·x)))⁴ + (½(1 + cos(4·x)))⁴ = ⁴¹⁄₁₂₈

½((cos(4·x) − 1)⁴ + (cos(4·x) + 1)⁴) = ⁴¹⁄₁₆

Возведём оба слагаемых в четвёртую степень, используя формулу бинома Ньютона, и приведём подобные слагаемые (устно).

cos⁴(4·x) + 6·cos²(4·x) + 1 − ⁴¹⁄₁₆ = cos⁴(4·x) + 6·cos²(4·x) − ²⁵⁄₁₆ = 0

Решим полученное биквадратное уравнение сперва относительно   cos²(4·x) ∈ [0; 1].

Дискриминант квадратного уравнения   D/4 = 3² + ²⁵⁄₁₆ = 9 + ²⁵⁄₁₆ = ¹⁶⁹⁄₁₆ = (¹¾)²

Удовлетворяющий условию корень квадратного уравнения   cos²(4·x) = ¹¾ − 3 = ¼

Тогда   cos(4·x) = ±½ ⇒ 4·x = ±π/3 + π·k = (3·k ± 1)·π/3 ⇒ x = (3·k ± 1)·π/12

x = (3·k ± 1)·π/12   (k ∈ ℤ) — решение уравнения

---

©   http://5ballov.pp.ua/