Интегрирование рациональных тригонометрических функций

Найдём неопределённый интеграл от рациональной тригонометрической функции

I = ∫(4·tg x − 5)·dx/(4·cos²x − sin(2·x) + 1)


Возникает соблазн перейти к двойному аргументу и применить универсальную тригонометрическую подстановку. Если же вчитаться в условие и обратить внимание на вид подынтегральной функции, задачу можно решить намного рациональнее.
Преобразуем знаменатель, применив сперва основное тригонометрическое тождество, формулу синуса двойного аргумента и формулу квадрата разности.

1 − sin(2·x) = sin²x − 2·sin x·cos x + cos²x = (sin x − cos x)²

Знаменатель запишется в виде:   (sin x − cos x)² + 4·cos²x

Обратите внимание: скобки раскрывать не нужно!

Вынося за скобки   cos²x, получим:   ((tg x − 1)² + 4)·cos²x

Вернёмся к исходному интегралу:

I = ∫((4·tg x − 5)/((tg x − 1)² + 4) · dx/cos²x) = ∫((4·(tg x − 1) − 1)/((tg x − 1)² + 4) · dx/cos²x)



Применим подстановку   t = tg x − 1. Тогда dt = dx/cos²x,

I = ∫(4·t − 1)·dt/(t² + 4) = 2·∫2·t·dt/(t² + 4) − ∫dt/(t² + 4)

В первом интеграле выделим в числителе производную знаменателя, во втором — сократим числитель и знаменатель на 4 и внесём   t/2   под знак дифференциала:

I = 2·∫d(t² + 4)/(t² + 4) − ½ ∫d(t/2)/(1 + (t/2)²) = 2·ln(t² + 4) − ½ arctg(½ t) + C

Возвращаясь к исходной переменной, получим окончательно:

I = 2·ln((tg x − 1)² + 4) − ½ arctg(½ (tg x − 1)) + C