Если Вы желаете заказать контрольную работу, договориться о консультациях или занятиях с репетитором — Вы не ошиблись адресом. На странице «О нас» Вы сможете подробнее узнать об услугах и их исполнителях.
Москва, Санкт-Петербург, Киев… — студент и школьник из любого города России и Украины может рассчитывать на публикацию и дальнейшее обсуждение интересной не только ему, но и другим задачи или вопроса
Свяжитесь с нами через форму обратной связи!
Телефон в Киеве: 242-71-76
Мобильный: +38 (067) 7384545
Телефон в России: +79151419149

четверг, 24 февраля 2011 г.

Правильный семиугольник

Разберём олимпиадную задачу по планиметрии.
Дан правильный семиугольник   A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇. Доказать , что   1/A₁A₅ + 1/A₁A₃ = 1/A₁A₇.

Домножим обе части равенства на   A₁A₅·A₁A₃·A₁A₇ ≠ 0   и перепишем его в виде:

A₁A₇·A₁A₅ = A₁A₃·(A₁A₅ − A₁A₇)

Известно,что вокруг правильного многоугольника можно описать окружность. Обозначим через   O   центр центр описанной окружности,   R — её радиус.

правильный семиугольник, геометрия, математика, олимпиада, репетитор по математике, тригонометрия, тригонометрические формулы

Правильный семиугольник. Рисунок из Bикипeдии.

Треугольники   A₁OA₇,  A₁OA₅,   A₁OA₃ — равнобедренные с боковыми сторонами
A₁O = A₃O = A₅O = A₇O = R   и углами   ∠A₁OA₇ = 2·π/7,   ∠A₁OA₅ = 6·π/7,   ∠A₁OA₃ = 4·π/7.
Основания треугольников равны соответственно: A₁A₇ = 2·R·sin(π/7),   A₁A₅ = 2·R·sin(3·π/7),
A₁A₃ = 2·R·sin(2·π/7).
Подставим найденные значения оснований треугольников в равенство:

4·R²·sin(π/7)·sin(3·π/7) = 4·R²·sin(2·π/7)·(sin(3·π/7) − sin(π/7))

Сократим обе части равенства на   4·R² ≠ 0:

sin(π/7)·sin(3·π/7) = sin(2·π/7)·(sin(3·π/7) − sin(π/7))

Теперь мы можем либо преобразовать произведение синусов в разность косинусов, либо наоборот — разность синусов в произведение тригонометрических функций. Выберем второй вариант. Формула преобразования разности синусов в произведение тригонометрических функций имеет вид:

sin α − sin β = 2·sin(½ (α − β))·cos(½ (α + β))

Получаем:   sin(π/7)·sin(3·π/7) = 2·sin(π/7)·sin(2·π/7)·cos(2·π/7)

Сократим теперь обе части равенства на   sin(π/7) ≠ 0   и применим к правой части формулу синуса двойного аргумента:   2·sin α·cos α = sin(2·α).

Получим:   sin(3·π/7) = 2·sin(2·π/7)·cos(2·π/7) = sin(4·π/7).

И наконец, применим к правой части формулу приведения:   sin(π − α) = sin α.

sin(3·π/7) = sin(4·π/7) = sin(π − 4·π/7) = sin(3·π/7) ⇒ sin(3·π/7) ≡ sin(3·π/7)

Равенство обратилось в тождество. Исходное утверждение доказано, и Золотой ключик у нас в кармане:)

Комментариев нет:

Отправить комментарий