Разберём олимпиадную задачу по планиметрии.
Дан правильный семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇. Доказать , что 1/A₁A₅ + 1/A₁A₃ = 1/A₁A₇.
Домножим обе части равенства на A₁A₅·A₁A₃·A₁A₇ ≠ 0 и перепишем его в виде:
Известно,что вокруг правильного многоугольника можно описать окружность. Обозначим через O центр центр описанной окружности, R — её радиус.
Правильный семиугольник. Рисунок из Bикипeдии.
Треугольники A₁OA₇, A₁OA₅, A₁OA₃ — равнобедренные с боковыми сторонами
A₁O = A₃O = A₅O = A₇O = R и углами ∠A₁OA₇ = 2·π/7, ∠A₁OA₅ = 6·π/7, ∠A₁OA₃ = 4·π/7.
Основания треугольников равны соответственно: A₁A₇ = 2·R·sin(π/7), A₁A₅ = 2·R·sin(3·π/7),
A₁A₃ = 2·R·sin(2·π/7).
Подставим найденные значения оснований треугольников в равенство:
4·R²·sin(π/7)·sin(3·π/7) = 4·R²·sin(2·π/7)·(sin(3·π/7) − sin(π/7))
Сократим обе части равенства на 4·R² ≠ 0:
sin(π/7)·sin(3·π/7) = sin(2·π/7)·(sin(3·π/7) − sin(π/7))
Теперь мы можем либо преобразовать произведение синусов в разность косинусов, либо наоборот — разность синусов в произведение тригонометрических функций. Выберем второй вариант. Формула преобразования разности синусов в произведение тригонометрических функций имеет вид:
sin α − sin β = 2·sin(½ (α − β))·cos(½ (α + β))
Получаем: sin(π/7)·sin(3·π/7) = 2·sin(π/7)·sin(2·π/7)·cos(2·π/7)
Сократим теперь обе части равенства на sin(π/7) ≠ 0 и применим к правой части формулу синуса двойного аргумента: 2·sin α·cos α = sin(2·α).
Получим: sin(3·π/7) = 2·sin(2·π/7)·cos(2·π/7) = sin(4·π/7).
И наконец, применим к правой части формулу приведения: sin(π − α) = sin α.
sin(3·π/7) = sin(4·π/7) = sin(π − 4·π/7) = sin(3·π/7) ⇒ sin(3·π/7) ≡ sin(3·π/7)
Равенство обратилось в тождество. Исходное утверждение доказано, и Золотой ключик у нас в кармане:)
Дан правильный семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇. Доказать , что 1/A₁A₅ + 1/A₁A₃ = 1/A₁A₇.
Домножим обе части равенства на A₁A₅·A₁A₃·A₁A₇ ≠ 0 и перепишем его в виде:
A₁A₇·A₁A₅ = A₁A₃·(A₁A₅ − A₁A₇)
Известно,что вокруг правильного многоугольника можно описать окружность. Обозначим через O центр центр описанной окружности, R — её радиус.
Правильный семиугольник. Рисунок из Bикипeдии.
Треугольники A₁OA₇, A₁OA₅, A₁OA₃ — равнобедренные с боковыми сторонами
A₁O = A₃O = A₅O = A₇O = R и углами ∠A₁OA₇ = 2·π/7, ∠A₁OA₅ = 6·π/7, ∠A₁OA₃ = 4·π/7.
Основания треугольников равны соответственно: A₁A₇ = 2·R·sin(π/7), A₁A₅ = 2·R·sin(3·π/7),
A₁A₃ = 2·R·sin(2·π/7).
Подставим найденные значения оснований треугольников в равенство:
4·R²·sin(π/7)·sin(3·π/7) = 4·R²·sin(2·π/7)·(sin(3·π/7) − sin(π/7))
Сократим обе части равенства на 4·R² ≠ 0:
sin(π/7)·sin(3·π/7) = sin(2·π/7)·(sin(3·π/7) − sin(π/7))
Теперь мы можем либо преобразовать произведение синусов в разность косинусов, либо наоборот — разность синусов в произведение тригонометрических функций. Выберем второй вариант. Формула преобразования разности синусов в произведение тригонометрических функций имеет вид:
sin α − sin β = 2·sin(½ (α − β))·cos(½ (α + β))
Получаем: sin(π/7)·sin(3·π/7) = 2·sin(π/7)·sin(2·π/7)·cos(2·π/7)
Сократим теперь обе части равенства на sin(π/7) ≠ 0 и применим к правой части формулу синуса двойного аргумента: 2·sin α·cos α = sin(2·α).
Получим: sin(3·π/7) = 2·sin(2·π/7)·cos(2·π/7) = sin(4·π/7).
И наконец, применим к правой части формулу приведения: sin(π − α) = sin α.
sin(3·π/7) = sin(4·π/7) = sin(π − 4·π/7) = sin(3·π/7) ⇒ sin(3·π/7) ≡ sin(3·π/7)
Равенство обратилось в тождество. Исходное утверждение доказано, и Золотой ключик у нас в кармане:)
Комментариев нет:
Отправить комментарий