Дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью

Найдём общее решение дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью

y″ − 2·y′ + y = eˣ/√(9 − x²)

Это дифференциальное уравнение может быть решено методом вариации произвольной постоянной. Но существует и другой, более простой, способ. Разберём оба способа решения.
Характеристическое уравнение   k² − 2·k + 1 = (k − 1)² = 0   имеет двухкратный действительный корень   k₁ = k₂ = 1, откуда одно из общих решений соответствующего однородного дифференциального уравнения (с точностью до постоянной интерирования)   y₀ = eˣ.
Домножим обе части исходного дифференциального уравнения на   e⁻ˣ:

(y″ − 2·y′ + y)·e⁻ˣ = 1/√(9 − x²)

В левой части последнего уравнения — вторая производная произведения   y·e⁻ˣ. Покажем это, применив формулу Лейбница:

(y·e⁻ˣ)″ = y″·e⁻ˣ + 2·y′·(e⁻ˣ)′ + y·(e⁻ˣ)″ = (y″ − 2·y′ + y)·e⁻ˣ

Таким образом, дифференциальное уравнение перепишется в виде:

(y·e⁻ˣ)″ = 1/√(9 − x²)

Проинтегрируем дважды.

(y·e⁻ˣ)′ = ∫dx/√(9 − x²) = ∫d(ˣ⁄₃)/√(1 − (ˣ⁄₃)²) = arcsin(ˣ⁄₃) + C₁

y·e⁻ˣ = ∫(arcsin(ˣ⁄₃) + C₁)·dx = [интегрирование по частям] = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x −

− ∫x·d(arcsin(ˣ⁄₃)) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x − ∫x·dx/√(9 − x²) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x +

+ ½ ∫d(9 − x²)/√(9 − x²) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂

Домножая на   eˣ, получим общее решение дифференциального уравнения:

y = (x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂)·eˣ

---

Найдём теперь решение уравнения методом вариации произвольной постоянной.
Корни характеристического уравнения   k₁ = k₂ = 1.
Однородное дифференциальное уравнение имеет два линейно независимых решения:

y₁ = x·eˣ, y₂ = eˣ ⇒ y₁ = x·y₂ = x·eˣ

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде:

y = C₁(x)·y₁ + C₂(x)·y₂ = (C₁(x)·x + C₂(x))·y₂ = (C₁(x)·x + C₂(x))·eˣ,

где   C₁(x), C₂(x) — неизвестные функции, которые определяются из системы уравнений

{C₁′(x)·y₁ + C₂′(x)·y₂ = 0
{C₁′(x)·y₁′ + C₂′(x)·y₂′ = eˣ/√(9 − x²)

Дифференцируем:   y₁′ = (x + 1)·eˣ,   y₂′ = eˣ.
Подставляя производные в систему уравнений, получим:

{x·C₁′(x)·eˣ + C₂′(x)·eˣ = 0
{(x + 1)·C₁′(x)·eˣ + C₂′(x)·eˣ = eˣ/√(9 − x²)
⇓

{x·C₁′(x) + C₂′(x) = 0 {(x + 1)·C₁′(x) + C₂′(x) = 1/√(9 − x²)

⇒

{C₁′(x) = 1/√(9 − x²) {C₂′(x) = −x/√(9 − x²)

Проинтегрируем, опуская приведенные выше выкладки.

C₁(x) = ∫dx/√(9 − x²) = arcsin(ˣ⁄₃) + C₁;     C₂(x) = −∫x·dx/√(9 − x²) = √(9 − x²) + C₂

Общее решение дифференциального уравнения:

y = (x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂)·eˣ